Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2025

Sea $f(x) = e^{x \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)}$.

a) Demuestre que existe un punto $c$ en $(2,3)$ tal que $f(c) = \dfrac{1}{2}$. Enuncie y justifique el resultado teórico empleado. [1,25 puntos]

b) Demuestre que existe un punto $d$ en $(0,2)$ tal que $f'(d) = 0$. Enuncie y justifique el resultado teórico empleado. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Demuestre que existe un punto } \boldsymbol{c}\textbf{ en } \boldsymbol{(2,3)}\textbf{ tal que } \boldsymbol{f(c)=\frac12}\textbf{. Enuncie y justifique el resultado teórico empleado.}$

El resultado que se aplica es el teorema de los valores intermedios (Darboux): si $f$ es continua en $[a,b]$, toma en $(a,b)$ todos los valores comprendidos entre $f(a)$ y $f(b)$.

La función $f(x)=e^{\,x\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)}$ es continua en todo $\mathbb{R}$, por ser la composición de la exponencial con un producto de funciones continuas; en particular lo es en $[2,3]$.

Calculamos los valores en los extremos:

$f(2)=e^{\,2\sin(\pi)}=e^{0}=1$

$f(3)=e^{\,3\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)}=e^{3\cdot(-1)}=e^{-3}\approx0{,}0498$

Como $e^{-3}<\dfrac12<1$, el valor $\frac12$ está comprendido entre $f(3)$ y $f(2)$, y el teorema garantiza que existe al menos un $c\in(2,3)$ con $f(c)=\dfrac12$.

$\textbf{b) Demuestre que existe un punto } \boldsymbol{d}\textbf{ en } \boldsymbol{(0,2)}\textbf{ tal que } \boldsymbol{f'(d)=0}\textbf{. Enuncie y justifique el resultado teórico empleado.}$

Ahora aplicamos el teorema de Rolle: si $f$ es continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$ y $f(a)=f(b)$, existe algún $d\in(a,b)$ con $f'(d)=0$.

i) $f$ es continua en $[0,2]$, como ya se ha razonado.

ii) $f$ es derivable en $(0,2)$, por ser composición de funciones derivables en todo $\mathbb{R}$:

$f'(x)=\left[\sin\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)+\tfrac{\pi}{2}x\cos\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)\right]e^{\,x\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)}$

iii) Los valores en los extremos coinciden, porque en los dos se anula el exponente:

$f(0)=e^{\,0\cdot\sin(0)}=e^{0}=1 \qquad f(2)=e^{\,2\sin(\pi)}=e^{0}=1$

Se cumplen las tres hipótesis, luego el teorema de Rolle asegura que existe al menos un punto $d\in(0,2)$ en el que $f'(d)=0$.