Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Calcule la ecuación del plano que equidista de los puntos $A(3,3,5)$ y $B(1,-1,1)$. Calcule la ecuación de los planos que distan del plano anterior $6u$. [2,5 puntos]

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de $A$ y de $B$ es el plano mediador del segmento $\overline{AB}$: el que pasa por su punto medio y es perpendicular a él.

$\overrightarrow{AB}=(1,-1,1)-(3,3,5)=(-2,-4,-4)\ \parallel\ (1,2,2)$

$M=\left(\dfrac{3+1}{2},\dfrac{3-1}{2},\dfrac{5+1}{2}\right)=(2,1,3)$

Tomamos $\vec n=(1,2,2)$ como normal y exigimos que $M$ pertenezca al plano:

$\pi:\ 1(x-2)+2(y-1)+2(z-3)=0 \Rightarrow \pi:\ x+2y+2z-10=0$

Se comprueba que equidista de los dos puntos, $d(A,\pi)=\dfrac{|3+6+10-10|}{\sqrt{1+4+4}}=\dfrac{9}{3}=3$ y $d(B,\pi)=\dfrac{|1-2+2-10|}{3}=\dfrac{9}{3}=3$.

Los planos que distan de $\pi$ seis unidades son paralelos a él, así que tienen la misma normal y solo cambia el término independiente:

$\sigma:\ x+2y+2z+D=0$

Aplicamos la fórmula de la distancia entre planos paralelos:

$d(\pi,\sigma)=\dfrac{|D-(-10)|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\dfrac{|D+10|}{3}=6 \Rightarrow |D+10|=18$

$D+10=18 \Rightarrow D=8 \qquad D+10=-18 \Rightarrow D=-28$



El plano que equidista de $A$ y $B$ es $\pi:\ x+2y+2z-10=0$, y los que distan de él 6 unidades son $\pi_1:\ x+2y+2z-28=0$ y $\pi_2:\ x+2y+2z+8=0$, uno a cada lado.