Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Calcule la ecuación continua de la recta $t$ que corta perpendicularmente a las rectas $r$ y $s$, siendo: [2,5 puntos]

$r \equiv \begin{cases} x+y-2z-10=0 \\ x+z-3=0 \end{cases}$ ; $s \equiv \dfrac{x-4}{-1} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z}{-1}$

Escribimos primero la recta $r$ en paramétricas. De la segunda ecuación, $x=3-z$, y sustituyendo en la primera, $(3-z)+y-2z-10=0 \Rightarrow y=3z+7$. Tomando $z=\lambda$,

$r\equiv\begin{cases} x=3-\lambda \\ y=7+3\lambda \\ z=\lambda \end{cases} \Rightarrow R(3,7,0),\ \vec v_r=(-1,3,1)$

De $s$ leemos directamente $S(4,-1,0)$ y $\vec v_s=(-1,1,-1)$.



i) La recta $t$ es perpendicular a las dos, así que su director es el producto vectorial de los de $r$ y $s$:

$\vec v_t=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ -1 & 3 & 1\\ -1 & 1 & -1\end{vmatrix}=(-4,-2,2)\ \parallel\ (2,1,-1)$

ii) Buscamos los pies. Un punto genérico de cada recta es

$P(3-\lambda,\,7+3\lambda,\,\lambda)\in r \qquad Q(4-\mu,\,-1+\mu,\,-\mu)\in s$

$\overrightarrow{PQ}=(1+\lambda-\mu,\ -8-3\lambda+\mu,\ -\mu-\lambda)$

Imponemos que $\overrightarrow{PQ}$ sea perpendicular a los dos directores:

$\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_r=-(1+\lambda-\mu)+3(-8-3\lambda+\mu)+(-\lambda-\mu)=-25-11\lambda+3\mu$

$\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_s=-(1+\lambda-\mu)+(-8-3\lambda+\mu)-(-\lambda-\mu)=-9-3\lambda+3\mu$

$\begin{cases} 11\lambda-3\mu=-25 \\ \lambda-\mu=-3 \end{cases}$

De la segunda, $\mu=\lambda+3$; sustituyendo en la primera, $11\lambda-3\lambda-9=-25 \Rightarrow 8\lambda=-16 \Rightarrow \lambda=-2$, y por tanto $\mu=1$.

iii) Sustituyendo cada parámetro en su recta:

$\lambda=-2 \Rightarrow P(5,1,-2) \qquad \mu=1 \Rightarrow Q(3,0,-1)$

$\overrightarrow{PQ}=(-2,-1,1)$, que es efectivamente proporcional a $(2,1,-1)$, y se comprueba que $\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_r=0$ y $\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_s=0$.

La recta pedida, escrita por el punto $P$, es

$t\equiv\dfrac{x-5}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{-1}$

La perpendicular común corta a $r$ en $P(5,1,-2)$ y a $s$ en $Q(3,0,-1)$, y la distancia entre las dos rectas es $\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt6$ unidades.