Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $m$ y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

$\begin{cases} (m^2-m)x + (m+2)y - z = 1-m^2 \\ (m^2-m)x + (2m+1)y = 2 \\ (m-m^2)x - (2m+1)y + (m+2)z = 2m+2 \end{cases}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y es determinado cuando ese rango común iguala al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor.

$M=\begin{pmatrix} m^2-m & m+2 & -1 \\ m^2-m & 2m+1 & 0 \\ m-m^2 & -(2m+1) & m+2\end{pmatrix}$

Sumando la segunda fila a la tercera se anulan sus dos primeros elementos, lo que permite desarrollar el determinante con comodidad:

$|M|=\begin{vmatrix} m^2-m & m+2 & -1 \\ m^2-m & 2m+1 & 0 \\ 0 & 0 & m+2\end{vmatrix}=(m+2)\begin{vmatrix} m^2-m & m+2 \\ m^2-m & 2m+1\end{vmatrix}$

$|M|=(m+2)(m^2-m)\left[(2m+1)-(m+2)\right]=(m+2)\,m(m-1)(m-1)=m(m-1)^2(m+2)$

$|M|=0 \Rightarrow \begin{cases} m=0 \\ m=1 \\ m=-2 \end{cases}$

Resolvemos por eliminación, que aquí es más corto que discutir menores. Sumando la segunda y la tercera ecuaciones:

$(m+2)z=2m+4=2(m+2)$

Restando la segunda de la primera:

$(1-m)y-z=-1-m^2$

Si $m\neq-2$, de la primera relación sale $z=2$, y llevándolo a la segunda,

$(1-m)y=1-m^2=(1-m)(1+m)$

Si además $m\neq1$, entonces $y=m+1$, y de la segunda ecuación del sistema,

$m(m-1)x=2-(2m+1)(m+1)=1-3m-2m^2 \Rightarrow x=\dfrac{-2m^2-3m+1}{m(m-1)}$

siempre que $m\neq0$. Con esto la discusión queda así:

Si $m\neq0,\ 1,\ -2$, el sistema es compatible determinado y su solución es

$x=\dfrac{-2m^2-3m+1}{m(m-1)},\qquad y=m+1,\qquad z=2$

Si $m=0$, se tiene $z=2$ y $y=1$, pero la segunda ecuación queda $0\cdot x+1\cdot y=2$, es decir, $y=2$, en contradicción con lo anterior. El sistema es incompatible: $\operatorname{ran}(M)=2\neq3=\operatorname{ran}(M')$.

Si $m=1$, desaparece la incógnita $x$ y el sistema se reduce a

$\begin{cases} 3y-z=0 \\ 3y=2 \\ -3y+3z=4 \end{cases} \Rightarrow y=\dfrac23,\quad z=2$

valores que cumplen las tres ecuaciones. Es compatible indeterminado, con $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=2<3$, y su solución es

$\begin{cases} x=\lambda \\ y=\dfrac23 \\ z=2 \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

Si $m=-2$, la suma de la segunda y la tercera ecuaciones da $0=0$: la tercera es la opuesta de la segunda y el sistema se queda en dos ecuaciones,

$\begin{cases} 6x-z=-3 \\ 6x-3y=2 \end{cases}$

De nuevo $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=2<3$ y es compatible indeterminado. Tomando $x=\lambda$,

$\begin{cases} x=\lambda \\ y=2\lambda-\dfrac23 \\ z=6\lambda+3 \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $m\neq0,\ 1,\ -2$, incompatible para $m=0$ y compatible indeterminado con un grado de libertad para $m=1$ y para $m=-2$.