Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2025

Un ciclista de montaña quiere ir de un punto $A$, localizado en el monte a 8 km de una pista recta, a un punto $C$ ubicado al final de la misma. Sabiendo que por la pista circulará a 20 km/h y fuera de ella a 12 km/h, calcule a qué distancia de $B$ debe unirse a la pista para llegar a $C$ en el menor tiempo posible. [2,5 puntos]

Llamamos $x$ a la distancia $\overline{BP}$ a la que el ciclista se une a la pista, con $0\leq x\leq15$.



El triángulo $ABP$ es rectángulo en $B$, así que por el teorema de Pitágoras el tramo por el monte mide $\sqrt{64+x^2}$, y el que queda de pista, $15-x$. Como el tiempo es el espacio dividido por la velocidad, la función a minimizar es

$T(x)=\dfrac{\sqrt{64+x^2}}{12}+\dfrac{15-x}{20}$

$T'(x)=\dfrac{2x}{2\cdot12\sqrt{64+x^2}}-\dfrac{1}{20}=\dfrac{x}{12\sqrt{64+x^2}}-\dfrac{1}{20}$

$T'(x)=0 \Rightarrow 20x=12\sqrt{64+x^2} \Rightarrow 5x=3\sqrt{64+x^2}$

Elevando al cuadrado los dos miembros, que son positivos:

$25x^2=9\left(64+x^2\right) \Rightarrow 16x^2=576 \Rightarrow x^2=36 \Rightarrow x=\pm6$

Se descarta $x=-6$ por estar fuera del intervalo $[0,15]$.

Comprobamos con la derivada segunda que es un mínimo:

$T''(x)=\dfrac{64}{12\left(64+x^2\right)^{3/2}}>0 \quad \forall x$

Al ser positiva en todo el dominio, $T$ es convexa y el único punto crítico es un mínimo absoluto. Los extremos del intervalo dan tiempos mayores, lo que lo confirma:

$T(6)=\dfrac{10}{12}+\dfrac{9}{20}=\dfrac{77}{60}\approx1{,}2833\ \text{h} \qquad T(0)=T(15)=\dfrac{17}{12}\approx1{,}4167\ \text{h}$

El ciclista debe unirse a la pista a 6 km de $B$; así tarda $\frac{77}{60}$ horas, es decir, 1 hora y 17 minutos.