Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · Navarra · 2025

Se considera la función $f(x) = \dfrac{3x^3}{x^2-4}$. Estudie sus asíntotas y simetrías.

Estudie la aproximación de la función a sus asíntotas verticales. [2,5 puntos]

El denominador se anula en dos puntos:

$x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm2 \Rightarrow \text{Dom } f(x)=\mathbb{R}-\{-2,2\}$

Asíntotas verticales. En $x=2$ y en $x=-2$ el numerador vale $24$ y $-24$ respectivamente, así que ninguno de los dos es una indeterminación y las dos rectas son asíntotas verticales. La aproximación de la función a cada una la dan los límites laterales, teniendo en cuenta que $x^2-4$ es positivo fuera de $[-2,2]$ y negativo dentro:

$\displaystyle\lim_{x\to-2^-}\dfrac{3x^3}{x^2-4}=\dfrac{-24}{0^+}=-\infty \qquad \displaystyle\lim_{x\to-2^+}\dfrac{3x^3}{x^2-4}=\dfrac{-24}{0^-}=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to2^-}\dfrac{3x^3}{x^2-4}=\dfrac{24}{0^-}=-\infty \qquad \displaystyle\lim_{x\to2^+}\dfrac{3x^3}{x^2-4}=\dfrac{24}{0^+}=+\infty$

Es decir, la curva se va hacia abajo por la izquierda de cada asíntota y hacia arriba por su derecha.

Asíntotas horizontales. El grado del numerador es mayor que el del denominador:

$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x^3}{x^2-4}=\pm\infty$

luego no hay asíntota horizontal. Al superarlo exactamente en una unidad, sí hay asíntota oblicua $y=mx+n$.

$m=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^3}{x^3-4x}=3$

$n=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{3x^3}{x^2-4}-3x\right)=\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^3-3x(x^2-4)}{x^2-4}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{12x}{x^2-4}=0$

La asíntota oblicua es $y=3x$, la misma en $+\infty$ y en $-\infty$. Efectuando la división se ve igual de rápido:

$f(x)=\dfrac{3x^3}{x^2-4}=3x+\dfrac{12x}{x^2-4}$

Simetrías. El dominio es simétrico respecto del origen, así que tiene sentido comparar:

$f(-x)=\dfrac{3(-x)^3}{(-x)^2-4}=\dfrac{-3x^3}{x^2-4}=-f(x)$

La función es impar, luego su gráfica es simétrica respecto del origen de coordenadas. Esa simetría explica que las dos asíntotas verticales sean simétricas entre sí y que la oblicua pase por el origen.



La función tiene las asíntotas verticales $x=-2$ y $x=2$, la asíntota oblicua $y=3x$ y ninguna horizontal, y es impar: su gráfica es simétrica respecto del origen.