Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2025

Sea $f(x) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} \cdot x\right) \cdot \ln(x^2+x-5)$.

a) Demuestre que $f$ es continua en $[2,3]$. [0,75 puntos]

b) Demuestre que existe un punto $c$ en $(2,3)$ tal que $f'(c) = 0$. Enuncie el resultado teórico utilizado, y justifique su uso. [1,75 puntos]

$\textbf{a) Demuestre que } \boldsymbol{f}\textbf{ es continua en } \boldsymbol{[2,3]}\textbf{.}$

La función es el producto de un coseno, continuo en todo $\mathbb{R}$, por un logaritmo, que es continuo donde su argumento es positivo. Estudiamos el argumento en $[2,3]$:

$g(x)=x^2+x-5$ es una parábola con vértice en $x=-\dfrac12$, de modo que es creciente en $[2,3]$.

$g(2)=4+2-5=1>0 \qquad g(3)=9+3-5=7>0$

Al ser creciente y valer 1 en el extremo izquierdo, $g(x)\geq1>0$ en todo $[2,3]$, luego $\ln(x^2+x-5)$ está definido y es continuo ahí. Por ser producto de funciones continuas, $f$ es continua en $[2,3]$.

$\textbf{b) Demuestre que existe un punto } \boldsymbol{c}\textbf{ en } \boldsymbol{(2,3)}\textbf{ tal que } \boldsymbol{f'(c)=0}\textbf{. Enuncie el resultado teórico utilizado, y justifique su uso.}$

El resultado que se aplica es el teorema de Rolle: si $f$ es continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$ y $f(a)=f(b)$, entonces existe algún $c\in(a,b)$ con $f'(c)=0$.

Comprobamos las tres hipótesis en $[2,3]$.

i) La continuidad ya está probada en el apartado anterior.

ii) Por el mismo motivo —el argumento del logaritmo no se anula en $[2,3]$— la función es derivable en $(2,3)$, por ser producto y composición de funciones derivables:

$f'(x)=-\dfrac{\pi}{2}\sin\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)\ln(x^2+x-5)+\cos\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)\dfrac{2x+1}{x^2+x-5}$

iii) Los valores en los extremos coinciden, y los dos son cero, aunque por motivos distintos:

$f(2)=\cos(\pi)\cdot\ln(1)=(-1)\cdot0=0$

$f(3)=\cos\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)\cdot\ln(7)=0\cdot\ln7=0$

Se cumplen las tres hipótesis, así que el teorema de Rolle garantiza la existencia de al menos un punto $c\in(2,3)$ en el que $f'(c)=0$, que es lo que se quería demostrar.