Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos $A(1,0,-1)$ y $B(1,4,2)$ y los otros dos vértices están contenidos en la recta que pasa por el punto $P(6,-4,-4)$.

a) Calcule la ecuación de dicha recta. [0,5 puntos]

b) Calcule la ecuación del plano perpendicular al segmento $\overline{AB}$ que pasa por $A$. [0,75 puntos]

c) Calcule los otros dos vértices del cuadrado. [1,25 puntos]

Llamamos $C$ y $D$ a los otros dos vértices, de modo que el cuadrado sea $ABCD$ y $D$ el contiguo a $A$. El lado conocido es

$\overrightarrow{AB}=(1,4,2)-(1,0,-1)=(0,4,3) \qquad \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{0+16+9}=\sqrt{25}=5$

de modo que el cuadrado tiene lado 5.



$\textbf{a) Calcule la ecuación de dicha recta.}$

Los vértices $C$ y $D$ son los extremos del lado opuesto a $\overline{AB}$, que en un cuadrado es paralelo a él. Así que la recta que los contiene tiene por director $\overrightarrow{AB}$ y pasa por $P(6,-4,-4)$:

$r\equiv\begin{cases} x=6 \\ y=-4+4\mu \\ z=-4+3\mu \end{cases}\quad \mu\in\mathbb{R} \qquad\text{o bien}\qquad r\equiv\dfrac{y+4}{4}=\dfrac{z+4}{3},\ x=6$

$\textbf{b) Calcule la ecuación del plano perpendicular al segmento } \boldsymbol{\overline{AB}}\textbf{ que pasa por } \boldsymbol{A}\textbf{.}$

Un vector normal del plano es el propio $\overrightarrow{AB}=(0,4,3)$, y pasa por $A(1,0,-1)$:

$\pi:\ 0(x-1)+4(y-0)+3(z+1)=0 \Rightarrow \pi:\ 4y+3z+3=0$

$\textbf{c) Calcule los otros dos vértices del cuadrado.}$

El vértice $D$ es contiguo a $A$, así que $\overrightarrow{AD}\perp\overrightarrow{AB}$: es decir, $D$ está en el plano $\pi$ del apartado anterior. Y también está en la recta $r$, luego es el corte de ambos. Sustituimos el punto genérico de $r$ en $\pi$:

$4(-4+4\mu)+3(-4+3\mu)+3=0 \Rightarrow -16+16\mu-12+9\mu+3=0 \Rightarrow 25\mu-25=0 \Rightarrow \mu=1$

$\mu=1 \Rightarrow D(6,0,-1)$

El cuarto vértice se obtiene trasladando $D$ según el lado $\overrightarrow{AB}$, ya que en el cuadrado $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$:

$C=D+\overrightarrow{AB}=(6,0,-1)+(0,4,3)=(6,4,2)$

Comprobamos que los cuatro lados miden lo mismo y que $C$ está en $r$:

$\left|\overrightarrow{AD}\right|=|(5,0,0)|=5,\quad \left|\overrightarrow{BC}\right|=|(5,0,0)|=5,\quad \left|\overrightarrow{DC}\right|=5,\quad \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=0$

y para $\mu=2$ la recta $r$ da el punto $(6,4,2)=C$.

Los otros dos vértices del cuadrado son $C(6,4,2)$ y $D(6,0,-1)$.