Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Calcule la ecuación continua de la recta $t$ que pasa por el punto $P(2,0,-1)$ y corta a las siguientes rectas: [2,5 puntos]

$s \equiv \begin{cases} 2x+y-3z-6=0 \\ 2x-3z-8=0 \end{cases}$ ; $r \equiv \dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z+2}{1}$

Empezamos por escribir la recta $s$ en paramétricas. Restando las dos ecuaciones se obtiene $y+2=0$, y de la segunda $x=\dfrac{8+3z}{2}$; tomando $z=2\lambda$,

$s\equiv\begin{cases} x=4+3\lambda \\ y=-2 \\ z=2\lambda \end{cases} \Rightarrow S(4,-2,0),\ \vec v_s=(3,0,2)$

De la recta $r$ leemos directamente $R(-1,0,-2)$ y $\vec v_r=(2,1,1)$.



La recta $t$ pasa por $P$ y corta a $s$, luego está en el plano que determinan $P$ y $s$; y como corta también a $r$, está en el plano que determinan $P$ y $r$. Es la intersección de esos dos planos.

i) Plano $\pi_1$ que contiene a $P$ y a $s$. Con $\overrightarrow{PS}=(2,-2,1)$,

$\vec n_1=\vec v_s\times\overrightarrow{PS}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 3 & 0 & 2\\ 2 & -2 & 1\end{vmatrix}=(4,1,-6)$

$\pi_1:\ 4(x-2)+1\cdot y-6(z+1)=0 \Rightarrow \pi_1:\ 4x+y-6z-14=0$

ii) Plano $\pi_2$ que contiene a $P$ y a $r$. Con $\overrightarrow{PR}=(-3,0,-1)$,

$\vec n_2=\vec v_r\times\overrightarrow{PR}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & 1 & 1\\ -3 & 0 & -1\end{vmatrix}=(-1,-1,3)\ \parallel\ (1,1,-3)$

$\pi_2:\ (x-2)+y-3(z+1)=0 \Rightarrow \pi_2:\ x+y-3z-5=0$

iii) El director de $t$ es perpendicular a las dos normales:

$\vec v_t=\vec n_1\times\vec n_2=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 4 & 1 & -6\\ 1 & 1 & -3\end{vmatrix}=(3,6,3)\ \parallel\ (1,2,1)$

Como $t$ pasa por $P(2,0,-1)$, su ecuación continua es

$t\equiv\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{1}$

Comprobamos los cortes: el punto de $t$ de parámetro $-1$ es $M(1,-2,-2)$, que pertenece a $s$, y el de parámetro $1$ es $N(3,2,0)$, que pertenece a $r$.

La recta pedida es $t\equiv\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{1}$, que corta a $s$ en $M(1,-2,-2)$ y a $r$ en $N(3,2,0)$.