Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $m$ y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

$\begin{cases} (m^2-3m)x - my + 2mz = 3 \\ (m^2-3m)x + 3y + 3mz = m+9 \\ (3m-m^2)x + my - mz = 0 \end{cases}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y es determinado cuando ese rango común es igual al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor. Como hay tantas ecuaciones como incógnitas, empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes.

$M=\begin{pmatrix} m^2-3m & -m & 2m \\ m^2-3m & 3 & 3m \\ 3m-m^2 & m & -m\end{pmatrix}$

Sumando la primera fila a la tercera, que no altera el determinante, se anula la primera columna de esta:

$|M|=\begin{vmatrix} m^2-3m & -m & 2m \\ m^2-3m & 3 & 3m \\ 0 & 0 & m\end{vmatrix}=m\begin{vmatrix} m^2-3m & -m \\ m^2-3m & 3\end{vmatrix}$

$|M|=m\left[3(m^2-3m)+m(m^2-3m)\right]=m(m^2-3m)(m+3)=m^2(m-3)(m+3)$

$|M|=0 \Rightarrow m^2(m-3)(m+3)=0 \Rightarrow \begin{cases} m=0 \\ m=3 \\ m=-3 \end{cases}$

Si $m\neq0,\ 3,\ -3$, entonces $|M|\neq0$ y $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{nº de incógnitas}$: el sistema es compatible determinado. Resolviéndolo se obtiene

$x=\dfrac1m,\qquad y=1,\qquad z=\dfrac3m$

Si $m=0$, el sistema queda

$\begin{cases} 0=3 \\ 3y=9 \\ 0=0 \end{cases}$

La primera ecuación es imposible, luego el sistema es incompatible. En términos de rangos, $\operatorname{ran}(M)=1$ y $\operatorname{ran}(M')=2$.

Si $m=3$, se anula $m^2-3m$ y desaparece la incógnita $x$:

$\begin{cases} -3y+6z=3 \\ 3y+9z=12 \\ 3y-3z=0 \end{cases}$

De la tercera, $y=z$; llevándolo a la primera, $-3z+6z=3 \Rightarrow z=1$, y también $y=1$, valores que cumplen la segunda. Es un sistema compatible indeterminado, porque $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=2<3$, y su solución es

$\begin{cases} x=\lambda \\ y=1 \\ z=1 \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

Si $m=-3$, el sistema es

$\begin{cases} 18x+3y-6z=3 \\ 18x+3y-9z=6 \\ -18x-3y+3z=0 \end{cases}$

Restando la primera de la segunda, $-3z=3 \Rightarrow z=-1$, y sustituyendo en la primera, $18x+3y=-3 \Rightarrow 6x+y=-1$. La tercera es entonces consecuencia de las anteriores. De nuevo $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=2<3$ y el sistema es compatible indeterminado:

$\begin{cases} x=-\dfrac{1+\lambda}{6} \\ y=\lambda \\ z=-1 \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $m\neq0,\pm3$, con solución $\left(\frac1m,1,\frac3m\right)$; es incompatible para $m=0$; y es compatible indeterminado, con un grado de libertad, para $m=3$ y para $m=-3$.