Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Siendo $p(t) = 0{,}15 + \sin^2\left(\dfrac{\pi}{2} \cdot t\right) \cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{2} \cdot t\right)$ el precio del kilowatio/hora de la luz doméstica entre los instantes $t_0 = 0$ y $t_1 = 1$:

a) Calcule los instantes en los que el precio ha sido máximo y en los que ha sido mínimo. [1,25 puntos]

b) Calcule el precio medio $\overline{p}$ de la luz entre los instantes $t_0 = 0$ y $t_1 = 1$, sabiendo que el valor medio de una función continua $f$ en el intervalo $[a,b] \ (a<b)$ es:

$\overline{f} = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$. [1,25 puntos]

Observación: Recuerde la necesidad de trabajar en radianes.

$\textbf{a) Calcule los instantes en los que el precio ha sido máximo y en los que ha sido mínimo.}$

Derivamos $p(t)$ aplicando la regla del producto, y trabajando en radianes:

$p'(t)=2\sin\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)\cdot\tfrac{\pi}{2}\cos\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)\cdot\cos\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)+\sin^2\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)\cdot\left(-\tfrac{\pi}{2}\sin\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)\right)$

$p'(t)=\dfrac{\pi}{2}\sin\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)\left[2\cos^2\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)-\sin^2\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)\right]$

Usando $\sin^2=1-\cos^2$ el corchete queda $3\cos^2\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)-1$:

$p'(t)=\dfrac{\pi}{2}\sin\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)\left[3\cos^2\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)-1\right]$

Igualamos a cero en $[0,1]$. En ese intervalo $\tfrac{\pi}{2}t\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]$, de modo que el seno solo se anula en $t=0$:

$\sin\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)=0 \Rightarrow t=0$

$3\cos^2\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)-1=0 \Rightarrow \cos\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)=\dfrac{1}{\sqrt3} \Rightarrow t=\dfrac{2}{\pi}\arccos\dfrac{1}{\sqrt3}\approx0{,}608$

El factor $\sin\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)$ es positivo en $(0,1]$, así que el signo de $p'(t)$ lo marca el corchete: es positivo antes de $0{,}608$ y negativo después, luego ahí hay un máximo.

$p(0{,}608)=0{,}15+\dfrac23\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=0{,}15+\dfrac{2\sqrt3}{9}\approx0{,}5349$

Como el intervalo es cerrado, comparamos con los extremos:

$p(0)=0{,}15+0\cdot1=0{,}15 \qquad p(1)=0{,}15+1\cdot0=0{,}15$



El precio ha sido máximo en el instante $t=\dfrac{2}{\pi}\arccos\dfrac{1}{\sqrt3}\approx0{,}608$, con un valor de $0{,}5349$, y ha sido mínimo en los dos extremos del intervalo, $t=0$ y $t=1$, con un valor de $0{,}15$.

$\textbf{b) Calcule el precio medio } \boldsymbol{\overline p}\textbf{ de la luz entre los instantes } \boldsymbol{t_0=0}\textbf{ y } \boldsymbol{t_1=1}\textbf{.}$

Aplicamos la fórmula del enunciado con $a=0$ y $b=1$:

$\overline p=\dfrac{1}{1-0}\displaystyle\int_{0}^{1}\left[0{,}15+\sin^2\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)\cos\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)\right]dt$

El primer sumando es inmediato y el segundo se resuelve con el cambio de variable

$\begin{cases} w=\sin\left(\tfrac{\pi}{2}t\right) \\ dw=\tfrac{\pi}{2}\cos\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)dt \end{cases} \qquad t=0\Rightarrow w=0,\quad t=1\Rightarrow w=1$

$\displaystyle\int_{0}^{1}\sin^2\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)\cos\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)dt=\dfrac{2}{\pi}\int_{0}^{1}w^2\,dw=\dfrac{2}{\pi}\left[\dfrac{w^3}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac{2}{3\pi}$

$\overline p=0{,}15+\dfrac{2}{3\pi}\approx0{,}15+0{,}2122=0{,}3622$

El precio medio del kilowatio/hora entre los dos instantes es de $0{,}3622$.