Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2025

Para la realización de un trabajo se precisan de 80 horas haciendo uso de una sola máquina. Cada máquina en funcionamiento genera unos gastos de 10 euros por puesta en marcha y de otros 5 euros por cada hora de uso. Sabiendo además que por cada hora que dure el trabajo hay que pagar 18 euros a un único operario que supervisa la tarea, calcule el número de máquinas a usar para que el gasto sea mínimo. Justifique su condición de mínimo. (Observación: el tiempo necesario para realizar el trabajo es inversamente proporcional al número de máquinas empleadas). [2,5 puntos]

Llamamos $n$ al número de máquinas empleadas. Como el tiempo es inversamente proporcional al número de máquinas y con una sola se tardan 80 horas, el trabajo dura

$T(n)=\dfrac{80}{n}\ \text{horas}$

Descomponemos el gasto en sus tres partidas:

$\text{puesta en marcha}=10n \qquad \text{uso de las máquinas}=5\cdot n\cdot\dfrac{80}{n}=400 \qquad \text{operario}=18\cdot\dfrac{80}{n}=\dfrac{1440}{n}$

Obsérvese que el gasto de uso no depende de $n$: cada máquina cuesta 5 euros por hora, pero entre todas suman siempre las mismas 80 horas de máquina. La función a minimizar es, por tanto,

$G(n)=10n+400+\dfrac{1440}{n},\qquad n>0$

$G'(n)=10-\dfrac{1440}{n^2}$

$G'(n)=0 \Rightarrow 10=\dfrac{1440}{n^2} \Rightarrow n^2=144 \Rightarrow n=\pm12$

Se descarta $n=-12$ porque el número de máquinas ha de ser positivo.

Justificamos que es un mínimo con la derivada segunda:

$G''(n)=\dfrac{2880}{n^3} \Rightarrow G''(12)=\dfrac{2880}{1728}=\dfrac53>0$

Al ser positiva, en $n=12$ hay un mínimo relativo, y por ser el único extremo de $(0,+\infty)$ es también el mínimo absoluto.

$G(12)=120+400+120=640\ \text{euros}$

Hay que emplear 12 máquinas: el trabajo dura entonces $\frac{80}{12}\approx6{,}67$ horas y el gasto total es el mínimo posible, 640 euros.