Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · Navarra · 2026

Estudie las asíntotas y simetrías de la función $f(x) = \dfrac{3x^2+2}{x-2}$.

La función es un cociente de polinomios y solo deja de estar definida donde se anula el denominador:

$x-2=0 \Rightarrow x=2 \Rightarrow \text{Dom } f(x)=\mathbb{R}-\{2\}$

Asíntotas verticales. La única candidata es $x=2$, donde el numerador vale $3\cdot2^2+2=14\neq0$:

$\displaystyle\lim_{x\to2^-}\dfrac{3x^2+2}{x-2}=\dfrac{14}{0^-}=-\infty \qquad \displaystyle\lim_{x\to2^+}\dfrac{3x^2+2}{x-2}=\dfrac{14}{0^+}=+\infty$

Luego $x=2$ es asíntota vertical.

Asíntotas horizontales. El grado del numerador supera en uno al del denominador, de modo que

$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x^2+2}{x-2}=\pm\infty$

y no hay asíntota horizontal. Al ser el grado del numerador exactamente uno más que el del denominador, sí habrá asíntota oblicua $y=mx+n$.

$m=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+2}{x^2-2x}=3$

$n=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(f(x)-3x\right)=\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+2-3x(x-2)}{x-2}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{6x+2}{x-2}=6$

La asíntota oblicua es $y=3x+6$, y es la misma en $+\infty$ y en $-\infty$. El mismo resultado se obtiene efectuando la división entera:

$f(x)=\dfrac{3x^2+2}{x-2}=3x+6+\dfrac{14}{x-2}$

Simetrías. Comprobamos si la función es par o impar:

$f(-x)=\dfrac{3(-x)^2+2}{-x-2}=-\dfrac{3x^2+2}{x+2}$

que no coincide ni con $f(x)$ ni con $-f(x)$, así que la gráfica no es simétrica respecto del eje $OY$ ni respecto del origen.

Sí lo es, en cambio, respecto del punto en que se cortan las dos asíntotas. Ese punto es $C(2,12)$, porque $3\cdot2+6=12$, y usando la expresión $f(x)=3x+6+\frac{14}{x-2}$ se comprueba que

$f(2+h)+f(2-h)=\left(12+3h+\dfrac{14}{h}\right)+\left(12-3h-\dfrac{14}{h}\right)=24=2\cdot12$

es decir, $C$ es el punto medio de cada par de puntos de la gráfica de abscisas $2+h$ y $2-h$: la gráfica tiene simetría central respecto de $C(2,12)$.



La función tiene la asíntota vertical $x=2$ y la asíntota oblicua $y=3x+6$, no tiene asíntota horizontal, no es par ni impar, y su gráfica es simétrica respecto del punto $C(2,12)$ en que se cortan las dos asíntotas.