Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Calcule la siguiente integral indefinida y el límite:

$\displaystyle\int \dfrac{e^2 \cdot e^{\tan(x)}}{4\cos^2(x)} \, dx$ ; $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2^x - 2}{4^{\frac{x-2}{2x+1}} - 1}$

En la integral, el factor $\dfrac{1}{\cos^2(x)}$ es exactamente la derivada de la tangente, así que resolvemos por cambio de variable.

$\displaystyle\int\dfrac{e^2\cdot e^{\tan(x)}}{4\cos^2(x)}\,dx \qquad \begin{cases} u=\tan(x) \\ du=\dfrac{dx}{\cos^2(x)} \end{cases}$

$=\dfrac{e^2}{4}\displaystyle\int e^{u}\,du=\dfrac{e^2}{4}\,e^{u}+C=\dfrac{e^{2+\tan(x)}}{4}+C$

Se comprueba derivando: $\left(\dfrac{e^{2+\tan(x)}}{4}\right)'=\dfrac{e^{2+\tan(x)}}{4}\cdot\dfrac{1}{\cos^2(x)}$, que es el integrando.

Para el límite estudiamos por separado el numerador y el denominador cuando $x\to-\infty$.

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(2^x-2\right)=0-2=-2$

En el denominador, el exponente es un cociente de polinomios del mismo grado:

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x-2}{2x+1}=\dfrac12 \Rightarrow \displaystyle\lim_{x\to-\infty}4^{\frac{x-2}{2x+1}}=4^{1/2}=2$

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(4^{\frac{x-2}{2x+1}}-1\right)=2-1=1$

No hay indeterminación: el límite es el cociente de los dos valores.

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2^x-2}{4^{\frac{x-2}{2x+1}}-1}=\dfrac{-2}{1}=-2$

La integral pedida es $\dfrac{e^{2+\tan(x)}}{4}+C$ y el límite vale $-2$.