Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que sea compatible indeterminado:

$\begin{cases} (a^2-4)x + (a+2)y + 2z = 4 \\ (4-a^2)x + z = 2 \\ (a^2-4)x + (a+2)y + az = -4 \end{cases}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso.

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: un sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y en ese caso es determinado cuando ese rango común iguala al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor. Como el sistema tiene tantas ecuaciones como incógnitas, empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes.

$M=\begin{pmatrix} a^2-4 & a+2 & 2 \\ 4-a^2 & 0 & 1 \\ a^2-4 & a+2 & a\end{pmatrix} \qquad M'=\begin{pmatrix} a^2-4 & a+2 & 2 & 4 \\ 4-a^2 & 0 & 1 & 2 \\ a^2-4 & a+2 & a & -4\end{pmatrix}$

Restando la primera fila a la tercera, que no altera el determinante:

$|M|=\begin{vmatrix} a^2-4 & a+2 & 2 \\ 4-a^2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & a-2\end{vmatrix}=(a-2)\begin{vmatrix} a^2-4 & a+2 \\ 4-a^2 & 0\end{vmatrix}$

$|M|=(a-2)\left[0-(a+2)(4-a^2)\right]=(a-2)(a+2)(a^2-4)=(a-2)^2(a+2)^2$

$|M|=0 \Rightarrow (a-2)^2(a+2)^2=0 \Rightarrow \begin{cases} a=2 \\ a=-2 \end{cases}$

Discutimos los tres casos.

Si $a\neq2$ y $a\neq-2$, entonces $|M|\neq0$ y $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{nº de incógnitas}$: el sistema es compatible determinado.

Si $a=2$, el sistema queda

$\begin{cases} 4y+2z=4 \\ z=2 \\ 4y+2z=-4 \end{cases}$

Las ecuaciones primera y tercera tienen el mismo primer miembro y distinto término independiente, luego el sistema es incompatible. En términos de rangos, $\operatorname{ran}(M)=2$ mientras que en $M'$ el menor

$\begin{vmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & -4\end{vmatrix}=-32\neq0 \Rightarrow \operatorname{ran}(M')=3$

y al ser $\operatorname{ran}(M)=2\neq3=\operatorname{ran}(M')$ el sistema es incompatible.

Si $a=-2$, se anulan $a^2-4$ y $a+2$ a la vez y el sistema se reduce a

$\begin{cases} 2z=4 \\ z=2 \\ -2z=-4 \end{cases}$

Las tres ecuaciones dicen lo mismo, de modo que $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=1<3=\text{nº de incógnitas}$ y el sistema es compatible indeterminado, con dos grados de libertad. Su solución es

$\begin{cases} x=\lambda \\ y=\mu \\ z=2 \end{cases}\quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}$

El sistema es compatible determinado para todo $a\neq\pm2$, incompatible para $a=2$ y compatible indeterminado para $a=-2$, único caso en que hay que resolverlo: todos los puntos del plano $z=2$ son solución.