Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2026

Sea $y = f(x)$ la función positiva que cumple la ecuación $(x-1)^2 + y^2 = 1$.

a) Exprese $y$ en función de $x$ y demuestre que existe un punto $c$ en su dominio tal que $f'(c) = -1$. Enuncie el resultado teórico utilizado, y justifique su uso.

b) ¿Cuánto vale el área comprendida entre la curva $y = f(x)$ y el eje $OX$?

$\textbf{a) Exprese } \boldsymbol{y}\textbf{ en función de } \boldsymbol{x}\textbf{ y demuestre que existe un punto } \boldsymbol{c}\textbf{ en su dominio tal que } \boldsymbol{f'(c)=-1}\textbf{. Enuncie el resultado teórico utilizado, y justifique su uso.}$

Despejamos $y$ de la ecuación y nos quedamos con la raíz positiva, que es la que pide el enunciado:

$(x-1)^2+y^2=1 \Rightarrow y^2=1-(x-1)^2=2x-x^2 \Rightarrow y=f(x)=\sqrt{2x-x^2}$

El radicando ha de ser no negativo, $2x-x^2=x(2-x)\geq0$, luego el dominio es $[0,2]$. Se trata de la semicircunferencia superior de centro $C(1,0)$ y radio 1.



El resultado teórico que usamos es el teorema del valor medio de Lagrange: si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, existe algún $c\in(a,b)$ tal que

$f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Lo aplicamos en el intervalo $[1,2]$. Ahí $f$ es continua, por ser composición de funciones continuas con radicando no negativo, y es derivable en $(1,2)$, porque en el interior el radicando es estrictamente positivo:

$f'(x)=\dfrac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}}=\dfrac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$

Como $f(1)=\sqrt{2-1}=1$ y $f(2)=\sqrt{4-4}=0$, el teorema garantiza que existe $c\in(1,2)$ con

$f'(c)=\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}=\dfrac{0-1}{1}=-1$

Existe, pues, un punto $c$ del dominio en el que la derivada vale $-1$. Resolviendo la ecuación se comprueba que es $c=1+\dfrac{\sqrt2}{2}\approx1{,}71$, que en efecto pertenece a $(1,2)$.

$\textbf{b) ¿Cuánto vale el área comprendida entre la curva } \boldsymbol{y=f(x)}\textbf{ y el eje } \boldsymbol{OX}\textbf{?}$

La curva es la mitad superior de la circunferencia de radio 1, y es positiva en todo $(0,2)$, así que el recinto que cierra con el eje $OX$ es medio círculo de radio 1:

$A=\dfrac{\pi\cdot1^2}{2}=\dfrac{\pi}{2}\approx1{,}5708\ \text{u}^2$

Si se prefiere calcularla por integración, el cambio $x-1=\sin u$ conduce al mismo valor:

$A=\displaystyle\int_{0}^{2}\sqrt{2x-x^2}\,dx=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2u\,du=\left[\dfrac{u}{2}+\dfrac{\sin(2u)}{4}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\dfrac{\pi}{2}$

El área comprendida entre la curva y el eje $OX$ es de $\dfrac{\pi}{2}\approx1{,}5708$ unidades cuadradas.