Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

El pintor coreano Tokien-co Lorelari idea sus cuadros mediante funciones matemáticas. El cuadro mostrado (conformado por cielo azul, sol amarillo, monte verde y mar azul oscuro) está compuesto por las curvas correspondientes a las siguientes tres ecuaciones:

$y = 0{,}15 + \dfrac{1}{20}\cos(4\pi x)$ ; $(x-0{,}3)^2 + (y-0{,}7)^2 = \dfrac{1}{100}$ ; $y = 0{,}2 + x \cdot |\sin(2\pi x)|$



Asocie cada curva con su ecuación. ¿Qué porcentaje del cuadro es monte visible (verde)?

Identificamos cada curva por su forma.

La segunda ecuación, $(x-0{,}3)^2+(y-0{,}7)^2=\dfrac{1}{100}$, es la circunferencia de centro $(0{,}3;\,0{,}7)$ y radio $0{,}1$: es el sol amarillo.

La primera, $y=0{,}15+\dfrac{1}{20}\cos(4\pi x)$, oscila entre $0{,}10$ y $0{,}20$ con período $\dfrac{2\pi}{4\pi}=\dfrac12$, así que da dos ondas suaves y bajas a lo largo del cuadro: es la orilla del mar azul oscuro.

La tercera, $y=0{,}2+x\cdot|\sin(2\pi x)|$, tiene también dos lóbulos, pero su amplitud crece con $x$, de modo que la segunda cima es mucho más alta que la primera: es el perfil del monte verde. Por encima queda el cielo azul.

Obsérvese que en $x=0$, $x=\frac12$ y $x=1$ las dos primeras curvas valen $0{,}2$: ahí el monte toca el mar, tal como se ve en el cuadro.

El cuadro es el cuadrado $[0,1]\times[0,1]$, cuya área vale 1, así que el porcentaje de monte visible coincide con su área multiplicada por 100. El monte es la región comprendida entre las dos curvas, y el sol no le quita nada: el punto más bajo del sol está a la altura $0{,}6$ y entre $x=0{,}2$ y $x=0{,}4$ el monte no pasa de $0{,}2+0{,}25=0{,}45$.

$A=\displaystyle\int_{0}^{1}\left[\left(0{,}2+x|\sin(2\pi x)|\right)-\left(0{,}15+\tfrac{1}{20}\cos(4\pi x)\right)\right]dx$

Separamos la integral en tres sumandos. El primero es inmediato:

$\displaystyle\int_{0}^{1}0{,}05\,dx=0{,}05$

El segundo se anula, porque el coseno recorre dos períodos completos:

$\displaystyle\int_{0}^{1}\tfrac{1}{20}\cos(4\pi x)\,dx=\left[\dfrac{\sin(4\pi x)}{80\pi}\right]_{0}^{1}=0$

Para el tercero rompemos el valor absoluto: $\sin(2\pi x)\geq0$ en $\left[0,\tfrac12\right]$ y $\sin(2\pi x)\leq0$ en $\left[\tfrac12,1\right]$. Integrando por partes,

$\displaystyle\int x\sin(2\pi x)\,dx=\dfrac{\sin(2\pi x)}{4\pi^2}-\dfrac{x\cos(2\pi x)}{2\pi}$

$\displaystyle\int_{0}^{1/2}x\sin(2\pi x)\,dx=\left(0+\dfrac{1}{4\pi}\right)-0=\dfrac{1}{4\pi}$

$\displaystyle-\int_{1/2}^{1}x\sin(2\pi x)\,dx=-\left(-\dfrac{1}{2\pi}-\dfrac{1}{4\pi}\right)=\dfrac{3}{4\pi}$

$\displaystyle\int_{0}^{1}x|\sin(2\pi x)|\,dx=\dfrac{1}{4\pi}+\dfrac{3}{4\pi}=\dfrac{1}{\pi}$

Sumando los tres,

$A=0{,}05+\dfrac{1}{\pi}=\dfrac{\pi+20}{20\pi}\approx0{,}3683$

La curva $y=0{,}15+\frac{1}{20}\cos(4\pi x)$ es la orilla del mar, la circunferencia es el sol y $y=0{,}2+x|\sin(2\pi x)|$ es el perfil del monte. El monte visible ocupa $0{,}05+\dfrac{1}{\pi}$ unidades de área, es decir, el $36{,}83\%$ del cuadro.