Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

En un examen tipo test de 10 preguntas, cada pregunta tiene para elegir 4 respuestas, de las cuales solo una es correcta. Si se responde al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de fallar todas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de acertar 7 exactamente?

c) Para aprobar se deben responder al menos 7 bien. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar?

Sea $X$ el número de preguntas acertadas. Cada pregunta se acierta o se falla con independencia de las demás y con la misma probabilidad, $p=\frac{1}{4}$, así que $X$ sigue una distribución binomial

$X\sim B\left(10,\tfrac14\right)$

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de fallar todas?}$

Fallar las diez es el suceso $X=0$:

$P(X=0)=\binom{10}{0}\left(\tfrac14\right)^{0}\left(\tfrac34\right)^{10}=\left(\tfrac34\right)^{10}=\dfrac{59049}{1048576}\approx0{,}0563$

La probabilidad de fallar las diez preguntas es de $0{,}0563$, es decir, alrededor del $5{,}6\%$.

$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de acertar 7 exactamente?}$

$P(X=7)=\binom{10}{7}\left(\tfrac14\right)^{7}\left(\tfrac34\right)^{3}=120\cdot\dfrac{1}{16384}\cdot\dfrac{27}{64}=\dfrac{405}{131072}\approx0{,}0031$

La probabilidad de acertar exactamente siete preguntas es de $0{,}0031$.

$\textbf{c) Para aprobar se deben responder al menos 7 bien. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar?}$

Aprobar es el suceso $X\geq7$, que reúne cuatro casos:

$P(X\geq7)=P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)$

$P(X=8)=\binom{10}{8}\left(\tfrac14\right)^{8}\left(\tfrac34\right)^{2}=45\cdot\dfrac{1}{65536}\cdot\dfrac{9}{16}=\dfrac{405}{1048576}$

$P(X=9)=\binom{10}{9}\left(\tfrac14\right)^{9}\left(\tfrac34\right)=10\cdot\dfrac{1}{262144}\cdot\dfrac34=\dfrac{15}{524288}$

$P(X=10)=\left(\tfrac14\right)^{10}=\dfrac{1}{1048576}$

Sumando las cuatro con denominador común:

$P(X\geq7)=\dfrac{3240+405+30+1}{1048576}=\dfrac{3676}{1048576}=\dfrac{919}{262144}\approx0{,}0035$

Respondiendo al azar, la probabilidad de aprobar es de $0{,}0035$: apenas 35 de cada diez mil intentos.