Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Encuentre la ecuación continua de la recta $t$ que corta perpendicularmente a las rectas

$r \equiv \dfrac{x}{1} = \dfrac{y+3}{1} = \dfrac{z-2}{-2}$ y $s \equiv \begin{cases} x = -4 + 3\lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = -1 + 2\lambda \end{cases}, \ \lambda \in \mathbb{R}$.

De las ecuaciones de las dos rectas leemos un punto y un vector director de cada una:

$r:\ \{P_0(0,-3,2),\ \vec v_r=(1,1,-2)\}\qquad s:\ \{Q_0(-4,1,-1),\ \vec v_s=(3,1,2)\}$



i) La recta $t$ ha de ser perpendicular a las dos, luego su vector director es perpendicular a $\vec v_r$ y a $\vec v_s$; basta tomar su producto vectorial.

$\vec v_t=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 1 & -2\\ 3 & 1 & 2\end{vmatrix}=(4,-8,-2)\ \parallel\ (2,-4,-1)$

ii) Buscamos los puntos de corte. Un punto genérico de cada recta es

$P(\lambda,\,-3+\lambda,\,2-2\lambda)\in r \qquad Q(-4+3\mu,\,1+\mu,\,-1+2\mu)\in s$

$\overrightarrow{PQ}=(-4+3\mu-\lambda,\ 4+\mu-\lambda,\ -3+2\mu+2\lambda)$

Como $\overrightarrow{PQ}$ ha de tener la dirección de $\vec v_t$, es perpendicular a los dos directores. Imponemos que los dos productos escalares se anulen:

$\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_r=6-6\lambda=0 \Rightarrow \lambda=1$

$\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_s=-14+14\mu=0 \Rightarrow \mu=1$

iii) Sustituyendo cada parámetro en su recta:

$\lambda=1 \Rightarrow P(1,-2,0)\qquad \mu=1 \Rightarrow Q(-1,2,1)$

$\overrightarrow{PQ}=(-2,4,1)$, que efectivamente es proporcional a $(2,-4,-1)$.

Escribimos la ecuación continua de la recta que pasa por $P$ con ese director:

$t\equiv\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z}{1}$

La recta pedida es $t\equiv\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z}{1}$, que corta perpendicularmente a $r$ en $P(1,-2,0)$ y a $s$ en $Q(-1,2,1)$.