Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2026

Dada una hoja de papel de dimensiones $20\text{ cm} \times 30\text{ cm}$, calcule el lado del cuadrado a recortar en cada esquina de forma que la caja resultante de subir las solapas que quedan sea de volumen máximo.

Llamamos $x$ al lado del cuadrado que se recorta en cada esquina. Al subir las cuatro solapas queda una caja sin tapa cuya base es un rectángulo de lados $30-2x$ y $20-2x$ y cuya altura es $x$.



La función a maximizar es, por tanto,

$V(x)=x\,(30-2x)(20-2x)=4x^3-100x^2+600x$

Como los tres factores han de ser positivos, el dominio del problema es $0<x<10$.

Buscamos los puntos críticos de $V$:

$V'(x)=12x^2-200x+600=4\left(3x^2-50x+150\right)$

$3x^2-50x+150=0 \Rightarrow x=\dfrac{50\pm\sqrt{2500-1800}}{6}=\dfrac{50\pm10\sqrt7}{6}=\dfrac{25\pm5\sqrt7}{3}$

Se descarta la solución $x=\dfrac{25+5\sqrt7}{3}\approx12{,}74$ por no pertenecer al intervalo $(0,10)$, ya que con ese recorte los lados de la base serían negativos.

Comprobamos con la derivada segunda que el valor restante es un máximo:

$V''(x)=24x-200$

$V''\left(\dfrac{25-5\sqrt7}{3}\right)=8\left(25-5\sqrt7\right)-200=-40\sqrt7\approx-105{,}83<0$

Luego en $x=\dfrac{25-5\sqrt7}{3}$ hay un máximo relativo, y por ser el único extremo del intervalo $(0,10)$ es también el máximo absoluto.

El volumen que se alcanza es:

$V\left(\dfrac{25-5\sqrt7}{3}\right)=\dfrac{10000+7000\sqrt7}{27}\approx1056{,}31\ \text{cm}^3$

Hay que recortar en cada esquina un cuadrado de lado $\dfrac{25-5\sqrt7}{3}\approx3{,}92\ \text{cm}$; con él la caja alcanza su volumen máximo, de unos $1056{,}31\ \text{cm}^3$.