Ejercicio resuelto de Solubilidad · Química · Asturias · 2022

En $750\ \text{mL}$ de una disolución acuosa saturada de hidróxido de magnesio, $\text{Mg(OH)}_2$, a 25 °C, hay $9\ \text{mg}$ de sal disueltos.

a) Calcule el valor de la constante del producto de solubilidad del $\text{Mg(OH)}_2$ en agua a 25 °C. [1,5 puntos]

b) Calcule la concentración máxima de $\text{Mg}^{2+}$ que puede estar disuelto en una disolución acuosa que presenta un $\text{pH} = 12$, a 25 °C. [0,5 puntos]

Datos: masas atómicas: $\text{Mg} = 24{,}3\ \text{u}$; $\text{H} = 1\ \text{u}$; $\text{O} = 16\ \text{u}$.

$\textbf{a) Calcule el valor de la constante del producto de solubilidad del Mg(OH)₂ en agua a 25 °C. [1,5 puntos]}$

La disolución está saturada, así que lo que se ha disuelto es precisamente la solubilidad. Se pasa de la masa a la concentración molar y de ahí a la constante.

$M(\mathrm{Mg(OH)_2}) = 24{,}3 + 2 \cdot (16 + 1) = 58{,}3\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$

$n = \frac{9 \cdot 10^{-3}}{58{,}3} = 1{,}54 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{mol}$

$s = \frac{n}{V} = \frac{1{,}54 \cdot 10^{-4}}{0{,}750} = 2{,}06 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$

El equilibrio de solubilidad reparte esa cantidad entre los iones, y aquí la estequiometría importa: por cada mol de hidróxido que se disuelve aparecen $\textbf{dos}$ moles de hidroxilo.

$\mathrm{Mg(OH)_2(s)} \rightleftharpoons \mathrm{Mg^{2+}(ac)} + 2\,\mathrm{OH^-(ac)}$

$[\mathrm{Mg^{2+}}] = s = 2{,}06 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{M} \qquad [\mathrm{OH^-}] = 2s = 4{,}12 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{M}$

$K_{ps} = [\mathrm{Mg^{2+}}]\,[\mathrm{OH^-}]^2 = s\,(2s)^2 = 4s^3$

$K_{ps} = 4 \cdot (2{,}06 \cdot 10^{-4})^3 = 4 \cdot 8{,}72 \cdot 10^{-12}$

$K_{ps} = 3{,}49 \cdot 10^{-11}$

El olvido más frecuente en este cálculo es el del 2 del exponente y el del factor 4: si se plantease $K_{ps} = s^2$ saldría $4 \cdot 10^{-8}$, tres órdenes de magnitud por encima.

$\textbf{b) Calcule la concentración máxima de Mg²⁺ que puede estar disuelto en una disolución acuosa que presenta un pH = 12, a 25 °C. [0,5 puntos]}$

Aquí el detalle decisivo es que la concentración de hidroxilo ya no la fija la sal que se disuelve, sino el pH de la disolución: el medio es básico de partida, así que el $\mathrm{OH^-}$ es un $\textbf{ion común}$ impuesto desde fuera y no se puede plantear como $2s$.

$\mathrm{pOH} = 14 - \mathrm{pH} = 14 - 12 = 2$

$[\mathrm{OH^-}] = 10^{-2} = 1{,}0 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$

La concentración máxima de magnesio disuelto es la que satura la disolución, es decir, la que cumple exactamente el equilibrio:

$[\mathrm{Mg^{2+}}]_{\max} = \frac{K_{ps}}{[\mathrm{OH^-}]^2} = \frac{3{,}49 \cdot 10^{-11}}{(1{,}0 \cdot 10^{-2})^2} = \frac{3{,}49 \cdot 10^{-11}}{1{,}0 \cdot 10^{-4}}$

$[\mathrm{Mg^{2+}}]_{\max} = 3{,}49 \cdot 10^{-7}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$

Es casi mil veces menor que en agua pura ($2{,}06 \cdot 10^{-4}$ M), y era lo esperable: el efecto del ion común desplaza el equilibrio de solubilidad hacia el sólido. En este caso el efecto es muy acusado porque el hidroxilo entra al cuadrado en la constante. Por la misma razón, bajar el pH aumentaría mucho la solubilidad, que es el fundamento del uso del hidróxido de magnesio como antiácido.