Ejercicio resuelto de Constante de equilibrio Kp · Química · 2023

La constante de equilibrio $K_p$ para la reacción ${\text{PCl}}_5(g)\rightleftharpoons {\text{PCl}}_3(g)+{\text{Cl}}_2(g)$, a 250,00 °C, es 78,3 (cuando las presiones se expresan en $\text{atm}$). En un recipiente de $500\text{ mL}$, a 250,00 °C, se introducen $\mathrm{3,12}\text{ g}$ de ${\text{PCl}}_5(g)$. Calcule las presiones parciales del ${\text{PCl}}_5(g)$ y del ${\text{PCl}}_3(g)$ cuando se alcanza el estado de equilibrio.

Datos: $A_{\text{r}}(\text{Cl})=\mathrm{35,45}$, $A_{\text{r}}(\text{P})=\mathrm{30,974}$ y $R=\mathrm{0,08205746}\text{ atm}\cdot \text{L}\cdot {\text{K}}^{-1}\cdot {\text{mol}}^{-1}$.

El planteamiento natural aquí es trabajar directamente en presiones, porque la constante que dan es $K_p$ y lo que se pide son presiones parciales. Se calcula primero la presión que ejercería el $\mathrm{P}\mathrm{C}{\mathrm{l}}_5$ si no se disociara y luego se plantea el equilibrio con el avance medido en atmósferas.

$M(\mathrm{P}\mathrm{C}{\mathrm{l}}_5)=\mathrm{30,974}+5\cdot \mathrm{35,45}=\mathrm{208,2}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$

$n_0=\frac{\mathrm{3,12}}{\mathrm{208,2}}=\mathrm{1,498}\cdot {10}^{-2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}$

Con $T=\mathrm{250,00}+\mathrm{273,15}=\mathrm{523,15}$ K y $V=\mathrm{0,500}$ L:

$p_0=\frac{n_{0}RT}{V}=\frac{\mathrm{1,498}\cdot {10}^{-2}\cdot \mathrm{0,08205746}\cdot \mathrm{523,15}}{\mathrm{0,500}}=\mathrm{1,286}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{m}$

Llamando $x$ a la presión de $\mathrm{P}\mathrm{C}{\mathrm{l}}_5$ que se disocia, y teniendo en cuenta que por cada mol que desaparece aparece uno de cada producto:

$$	$\mathrm{P}\mathrm{C}{\mathrm{l}}_5$	$\mathrm{P}\mathrm{C}{\mathrm{l}}_3$	$\mathrm{C}{\mathrm{l}}_2$ Inicial (atm)	1,286	0	0 Cambio (atm)	−x	+x	+x Equilibrio (atm)	1,286 − x	x	x

$K_p=\frac{p(\mathrm{P}\mathrm{C}{\mathrm{l}}_3)p(\mathrm{C}{\mathrm{l}}_2)}{p(\mathrm{P}\mathrm{C}{\mathrm{l}}_5)}=\frac{x^2}{\mathrm{1,286}-x}=\mathrm{78,3}$

La constante es muy grande comparada con la presión inicial, así que se espera una disociación casi completa y no cabe aproximación de ningún tipo:

$x^2+\mathrm{78,3}x-\mathrm{100,7}=0$

$x=\frac{-\mathrm{78,3}+\sqrt{{\mathrm{78,3}}^2+4\cdot \mathrm{100,7}}}{2}=\frac{-\mathrm{78,3}+\sqrt{\mathrm{6533,8}}}{2}=\frac{-\mathrm{78,3}+\mathrm{80,83}}{2}$

$x=\mathrm{1,266}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{m}$

Se descarta la otra raíz por ser negativa. Las presiones parciales pedidas son entonces:

$p(\mathrm{P}\mathrm{C}{\mathrm{l}}_3)=x=\mathrm{1,27}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{m}$

$p(\mathrm{P}\mathrm{C}{\mathrm{l}}_5)=\mathrm{1,286}-\mathrm{1,266}=\mathrm{2,05}\cdot {10}^{-2}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{m}$

Comprobación: $(\mathrm{1,266}{)}^2\mathrm{/}\mathrm{2,05}\cdot {10}^{-2}=\mathrm{78,3}$, que es el valor de la constante.

El resultado dice que a 250 °C el pentacloruro de fósforo está prácticamente descompuesto: el grado de disociación es

$\alpha =\frac{\mathrm{1,266}}{\mathrm{1,286}}=\mathrm{0,984}$

es decir, el 98,4 %. Eso es coherente con una $K_p$ de casi 80 atm frente a una presión total de poco más de 2 atm: cuanto menor es la presión a la que se trabaja, más se desplaza hacia la derecha un equilibrio que aumenta el número de moles de gas.