Ejercicio resuelto de Propiedades periódicas · Química · 2024

La fórmula de Rydberg puede utilizarse para obtener un valor aproximado de la primera energía de ionización, $E_{\text{i}}(1)$, del átomo de hidrógeno: basta, simplemente, con considerar la transición entre $n=1$ y $n=\mathrm{\infty }$. Calcule, utilizando la fórmula de Rydberg, la primera energía de ionización del átomo de hidrógeno.

Datos: $R_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{1,0973731568527}\cdot {10}^7{\text{m}}^{-1}$, $h=\mathrm{6,6260689}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$, $c=299792458\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$ y $N_{\text{A}}=\mathrm{6,022}\cdot {10}^{23}{\text{mol}}^{-1}$.

La fórmula de Rydberg da el número de ondas de la radiación emitida o absorbida en una transición electrónica del átomo de hidrógeno:

$\frac{1}{\lambda }=R_{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2})$

Ionizar el átomo desde su estado fundamental es llevar el electrón desde $n_1=1$ hasta $n_2=\mathrm{\infty }$, es decir, arrancarlo. El segundo término se anula y queda:

$\frac{1}{\lambda }=R_{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{1^2}-0)=R_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{1,0973731568527}\cdot {10}^7{\mathrm{m}}^{-1}$

La energía asociada se obtiene con la relación de Planck, escrita ya en función del número de ondas para no calcular $\lambda$ por separado:

$E_{\mathrm{i}}(1)=h\nu =\frac{hc}{\lambda }=hc{R}_{\mathrm{\infty }}$

$E_{\mathrm{i}}(1)=\mathrm{6,6260689}\cdot {10}^{-34}\cdot \mathrm{2,99792458}\cdot {10}^8\cdot \mathrm{1,0973731568527}\cdot {10}^7$

$E_{\mathrm{i}}(1)=\mathrm{2,180}\cdot {10}^{-18}\mathrm{J}$

Ese es el valor por $\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tomo}}$. Las energías de ionización se tabulan por mol, así que hay que multiplicar por el número de Avogadro:

$E_{\mathrm{i}}(1)=\mathrm{2,180}\cdot {10}^{-18}\cdot \mathrm{6,022}\cdot {10}^{23}=\mathrm{1,313}\cdot {10}^6\mathrm{J}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$

$E_{\mathrm{i}}(1)=\mathrm{1,313}\cdot {10}^3\mathrm{k}\mathrm{J}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$

La primera energía de ionización del hidrógeno es, por tanto, de unos 1313 $\mathrm{k}\mathrm{J}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$, que coincide muy bien con el valor experimental tabulado (1312 $\mathrm{k}\mathrm{J}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$). Que la aproximación funcione tan bien no sorprende: el modelo de Bohr, del que sale la fórmula de Rydberg, es exacto para un átomo con un solo electrón.