Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Asturias · 2020

Se conocen más de 40 isótopos del polonio, todos ellos radiactivos. Uno de ellos, el isótopo ${}^{210}\text{Po}$, decae a un isótopo estable del plomo (Pb) emitiendo una partícula alfa con un período de semidesintegración de $138{,}4$ días.

a) Escriba la reacción nuclear descrita en el enunciado anterior. [0,5 puntos]

Calcule para una muestra radiactiva de ${}^{210}\text{Po}$:

b) La vida media y la constante de desintegración radiactiva. [1 punto]

c) El número de moles del isótopo radiactivo necesarios para una actividad inicial de $1{,}75\cdot 10^{13}\ \text{Bq}$. [1 punto]

Dato: $N_A = 6{,}022\cdot 10^{23}\ \text{átomos}\cdot\text{mol}^{-1}$.

$\textbf{a) Escriba la reacción nuclear descrita en el enunciado anterior. [0,5 puntos]}$

En una desintegración alfa el núcleo emite un núcleo de helio, ${}^{4}_{2}\text{He}$. El polonio tiene número atómico $Z=84$, y en toda reacción nuclear se conservan el número másico y el número atómico:

${}^{210}_{84}\text{Po}\ \longrightarrow\ {}^{A}_{Z}\text{Pb}+{}^{4}_{2}\text{He}$

$210=A+4\Rightarrow A=206$

$84=Z+2\Rightarrow Z=82$

${}^{210}_{84}\text{Po}\ \longrightarrow\ {}^{206}_{82}\text{Pb}+{}^{4}_{2}\text{He}$

El isótopo estable que se obtiene es el ${}^{206}\text{Pb}$, en efecto plomo, con $Z=82$.

$\textbf{b) La vida media y la constante de desintegración radiactiva. [1 punto]}$










La ley de desintegración radiactiva establece que el número de núcleos sin desintegrar decrece exponencialmente:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}$

y el período de semidesintegración se relaciona con la constante de desintegración según:

$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}\Rightarrow \lambda=\frac{\ln 2}{138{,}4}$





$\lambda=5{,}01\cdot10^{-3}\ \text{días}^{-1}$

En unidades del Sistema Internacional:

$\lambda=\frac{5{,}01\cdot10^{-3}}{86\,400}=5{,}80\cdot10^{-8}\ \text{s}^{-1}$

Y la vida media es la inversa de la constante de desintegración:

$\tau=\frac{1}{\lambda}=\frac{138{,}4}{\ln 2}$

$\tau=199{,}7\ \text{días}$

$\textbf{c) El número de moles del isótopo radiactivo necesarios para una actividad inicial de } \boldsymbol{1{,}75\cdot10^{13}\ \text{Bq}}\textbf{. [1 punto]}$

La actividad es el número de desintegraciones por unidad de tiempo y es proporcional al número de núcleos presentes:

$A=\lambda\,N\Rightarrow N=\frac{A}{\lambda}$

Hay que usar la constante de desintegración en $\text{s}^{-1}$, porque el becquerel es una desintegración por segundo:

$N=\frac{1{,}75\cdot10^{13}}{5{,}80\cdot10^{-8}}=3{,}02\cdot10^{20}\ \text{núcleos}$

Y el número de moles se obtiene dividiendo entre el número de Avogadro:

$n=\frac{N}{N_A}=\frac{3{,}02\cdot10^{20}}{6{,}022\cdot10^{23}}$

$n=5{,}01\cdot10^{-4}\ \text{mol}$

Hacen falta $5{,}01\cdot10^{-4}\ \text{mol}$ de ${}^{210}\text{Po}$, que corresponden a algo más de $0{,}1\ \text{g}$ de isótopo. Con esa cantidad tan pequeña se alcanza una actividad enorme, consecuencia de que su período de semidesintegración es corto.