Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Asturias · 2020

Conocemos la longitud de onda de los electrones que inciden sobre un material en un experimento de difracción de electrones, $\lambda_e = 1{,}5\cdot 10^{-10}\ \text{m}$. Calcule:

a) La velocidad de los electrones que inciden sobre el material. [1 punto]

b) La diferencia de energía entre dos niveles atómicos si la radiación emitida tiene la misma longitud de onda que la de los electrones empleados en la difracción. [1 punto]

c) La longitud de onda de De Broglie asociada a una partícula de masa $m = 5\cdot 10^{-12}\ \text{kg}$ con la misma velocidad que el haz de electrones de los apartados anteriores. [0,5 puntos]

Datos: $|q_e| = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$; $m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$; $h = 6{,}626\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$; $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

$\textbf{a) La velocidad de los electrones que inciden sobre el material. [1 punto]}$

La hipótesis de De Broglie asocia a toda partícula material una longitud de onda inversamente proporcional a su cantidad de movimiento:

$\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{m_e\,v}\Rightarrow v=\frac{h}{m_e\,\lambda}$

$v=\frac{6{,}626\cdot10^{-34}}{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot1{,}5\cdot10^{-10}}$

$v=4{,}85\cdot10^{6}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

Los electrones inciden a $4{,}85\cdot10^{6}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. La longitud de onda elegida, $1{,}5\cdot10^{-10}\ \text{m}$, es del orden de la distancia entre átomos del cristal, que es justamente la condición para que se produzca difracción apreciable.

$\textbf{b) La diferencia de energía entre dos niveles atómicos si la radiación emitida tiene la misma longitud de onda que la de los electrones empleados en la difracción. [1 punto]}$

Ahora se trata de un fotón, no de un electrón, así que se aplica la hipótesis de Planck. Cuando un electrón cae de un nivel de energía a otro más bajo, el átomo emite un fotón cuya energía es exactamente la diferencia entre los dos niveles:

$\Delta E=h\,f=h\frac{c}{\lambda}$

$\Delta E=\frac{6{,}626\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{1{,}5\cdot10^{-10}}$

$\Delta E=1{,}33\cdot10^{-15}\ \text{J}$

Expresado en electronvoltios:

$\Delta E=\frac{1{,}33\cdot10^{-15}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=8{,}28\cdot10^{3}\ \text{eV}$

La diferencia entre los dos niveles es de $8{,}28\ \text{keV}$, propia de una transición entre niveles internos de un átomo pesado: se trata de radiación de rayos X.

$\textbf{c) La longitud de onda de De Broglie asociada a una partícula de masa } \boldsymbol{m = 5\cdot10^{-12}\ \text{kg}}\textbf{ con la misma velocidad que el haz de electrones de los apartados anteriores. [0,5 puntos]}$

Se aplica de nuevo la expresión de De Broglie, ahora con la masa de la partícula:

$\lambda=\frac{h}{m\,v}=\frac{6{,}626\cdot10^{-34}}{5\cdot10^{-12}\cdot4{,}85\cdot10^{6}}$

$\lambda=2{,}73\cdot10^{-29}\ \text{m}$

Esa longitud de onda es unos diecinueve órdenes de magnitud menor que la de los electrones, exactamente en la misma proporción en que la masa es mayor. Con un valor así no hay obstáculo material capaz de difractar la partícula, y por eso su comportamiento es puramente corpuscular.