Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2020

Una partícula alfa $\alpha$ viaja en línea recta con velocidad constante y entra en una región donde existen un campo eléctrico y un campo magnético constantes, mutuamente perpendiculares y a su vez perpendiculares a la trayectoria de la partícula alfa. La magnitud del campo eléctrico es de $2\cdot 10^{5}\ \text{N}/\text{C}$ y la del campo magnético $0{,}5\ \text{T}$. Calcule:

a) La velocidad de la partícula alfa si atraviesa dicha región sin modificar su trayectoria. [1 punto]

b) La diferencia de potencial necesaria para acelerar la partícula alfa desde el reposo hasta esa velocidad. [0,75 puntos]

c) Cómo se debe modificar el campo eléctrico (módulo, dirección y sentido) para que un electrón acelerado con la misma diferencia de potencial atraviese la región sin modificar su trayectoria. [0,75 puntos]

Datos: $|q_e| = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$; $m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$; $m_\alpha = 6{,}64\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) La velocidad de la partícula alfa si atraviesa dicha región sin modificar su trayectoria. [1 punto]}$










La región descrita es un selector de velocidades: sobre la partícula actúan la fuerza eléctrica y la fuerza magnética, perpendiculares entre sí, y solo la atraviesan sin desviarse las partículas para las que ambas se cancelan.

$\vec F_e+\vec F_m=\vec 0\Rightarrow q\,\vec E+q\,(\vec v\times\vec B)=\vec 0$





Como la velocidad es perpendicular al campo magnético, los módulos cumplen:

$q\,E=q\,v\,B\Rightarrow v=\frac{E}{B}$

$v=\frac{2\cdot10^{5}}{0{,}5}$

$v=4\cdot10^{5}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

La partícula alfa atraviesa la región sin desviarse si su velocidad es de $4\cdot10^{5}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. Obsérvese que la carga se simplifica: la condición no depende ni del valor ni del signo de la carga, solo de la velocidad.

$\textbf{b) La diferencia de potencial necesaria para acelerar la partícula alfa desde el reposo hasta esa velocidad. [0,75 puntos]}$

La partícula alfa es un núcleo de helio, con dos protones, de modo que su carga es el doble de la elemental:

$q_\alpha=2\,|q_e|=3{,}2\cdot10^{-19}\ \text{C}$

Al acelerarla desde el reposo, todo el trabajo del campo eléctrico se convierte en energía cinética:

$q_\alpha\,\Delta V=\frac12\,m_\alpha\,v^2\Rightarrow \Delta V=\frac{m_\alpha\,v^2}{2\,q_\alpha}$

$\Delta V=\frac{6{,}64\cdot10^{-27}\cdot(4\cdot10^{5})^2}{2\cdot3{,}2\cdot10^{-19}}$

$\Delta V=1{,}66\cdot10^{3}\ \text{V}$

Hacen falta $1\,660\ \text{V}$ para acelerar la partícula alfa hasta esa velocidad.

$\textbf{c) Cómo se debe modificar el campo eléctrico (módulo, dirección y sentido) para que un electrón acelerado con la misma diferencia de potencial atraviese la región sin modificar su trayectoria. [0,75 puntos]}$

Primero se calcula la velocidad que alcanza el electrón con esa misma diferencia de potencial. Su carga es la mitad que la de la alfa y su masa es unas siete mil veces menor, así que sale mucho más rápido:

$v_e=\sqrt{\frac{2\,|q_e|\,\Delta V}{m_e}}=\sqrt{\frac{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1\,660}{9{,}1\cdot10^{-31}}}$

$v_e=2{,}42\cdot10^{7}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

La condición de equilibrio es la misma, $E'=v_e\,B$, porque la carga se simplifica:

$E'=2{,}42\cdot10^{7}\cdot0{,}5$

$E'=1{,}21\cdot10^{7}\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

En cuanto a la dirección y el sentido, no hay que cambiarlos. Las dos fuerzas, la eléctrica y la magnética, son proporcionales a la carga, de modo que al pasar de una carga positiva a una negativa las dos se invierten a la vez y siguen cancelándose. Basta, por tanto, con multiplicar el módulo del campo eléctrico por $60{,}4$, manteniendo su dirección y su sentido.