Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Un satélite para comunicaciones se encuentra describiendo una órbita circular alrededor de la Tierra con una velocidad de $6\,000\ \text{m}/\text{s}$. Calcule:

a) ¿A qué distancia sobre la superficie de la Tierra se desplaza el satélite? [0,75 puntos]

b) ¿A qué velocidad se desplazaría si estuviera moviéndose en torno a Venus describiendo una órbita circular a una distancia de 900 km sobre la superficie de dicho planeta? [0,75 puntos]

c) La distancia entre los centros de Venus y la Tierra es de $0{,}27\ \text{UA}$. ¿En qué punto de la recta que los une la intensidad del campo gravitatorio terrestre anularía a la del venusiano? Dibuje ambos campos en dicho punto. [1 punto]

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$; $R_T = 6\,370\ \text{km}$; $M_T = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; $R_V = 6\,052\ \text{km}$; $M_V = 4{,}87\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; $1\ \text{UA} = 1{,}50\cdot 10^{11}\ \text{m}$.

$\textbf{a) ¿A qué distancia sobre la superficie de la Tierra se desplaza el satélite? [0,75 puntos]}$

En una órbita circular la única fuerza que actúa sobre el satélite es la gravitatoria, y hace de fuerza centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton:

$G\frac{M_T\,m}{r^2}=\frac{m\,v^2}{r}\Rightarrow r=\frac{G\,M_T}{v^2}$

$r=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}{(6\,000)^2}=1{,}11\cdot10^{7}\ \text{m}$

Esa es la distancia al centro de la Tierra. La altura sobre la superficie es:

$h=r-R_T=1{,}11\cdot10^{7}-6{,}37\cdot10^{6}$

$h=4{,}71\cdot10^{6}\ \text{m}$

El satélite se desplaza a $4{,}71\cdot10^{6}\ \text{m}$ sobre la superficie terrestre, unos $4\,710\ \text{km}$.

$\textbf{b) ¿A qué velocidad se desplazaría si estuviera moviéndose en torno a Venus describiendo una órbita circular a una distancia de 900 km sobre la superficie de dicho planeta? [0,75 puntos]}$

Se aplica la misma relación, ahora con la masa de Venus y con el radio orbital medido desde su centro:

$r_V=R_V+h=6\,052\cdot10^{3}+900\cdot10^{3}=6{,}952\cdot10^{6}\ \text{m}$

$v=\sqrt{\frac{G\,M_V}{r_V}}=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot4{,}87\cdot10^{24}}{6{,}952\cdot10^{6}}}$

$v=6{,}84\cdot10^{3}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

El satélite orbitaría Venus a $6{,}84\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$.

$\textbf{c) La distancia entre los centros de Venus y la Tierra es de } \boldsymbol{0{,}27\ \text{UA}}\textbf{. ¿En qué punto de la recta que los une la intensidad del campo gravitatorio terrestre anularía a la del venusiano? Dibuje ambos campos en dicho punto. [1 punto]}$

Los campos gravitatorios de los dos planetas solo tienen sentidos opuestos en el segmento que los une, así que el punto buscado está entre ellos.



La distancia entre los centros es:

$D=0{,}27\ \text{UA}=0{,}27\cdot1{,}50\cdot10^{11}=4{,}05\cdot10^{10}\ \text{m}$

Llamando $x$ a la distancia desde la Tierra e imponiendo que los módulos sean iguales:

$G\frac{M_T}{x^2}=G\frac{M_V}{(D-x)^2}\Rightarrow \frac{(D-x)^2}{x^2}=\frac{M_V}{M_T}=\frac{4{,}87}{5{,}98}$

$\frac{D-x}{x}=\sqrt{0{,}814}=0{,}902\Rightarrow D=1{,}902\,x$

$x=\frac{4{,}05\cdot10^{10}}{1{,}902}$

$x=2{,}13\cdot10^{10}\ \text{m}$

El punto está a $2{,}13\cdot10^{10}\ \text{m}$ del centro de la Tierra y a $1{,}92\cdot10^{10}\ \text{m}$ del de Venus: algo más cerca de Venus, que es el planeta de menor masa. En ese punto el campo terrestre apunta hacia la Tierra y el venusiano hacia Venus, con el mismo módulo y sentidos contrarios, de modo que se cancelan.