Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

La aceleración de la gravedad en la superficie de Urano tiene un valor de $8{,}9\ \text{m}/\text{s}^2$. Calcule:

a) El radio medio de Urano. [0,75 puntos]

b) El peso en Urano de un objeto cuyo peso en la superficie de la Tierra es 1 100 N. [0,75 puntos]

c) La velocidad de escape de la superficie de Urano. [1 punto]

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$; $R_T = 6\,370\ \text{km}$; $M_T = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; $M_U = 8{,}68\cdot 10^{25}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) El radio medio de Urano. [0,75 puntos]}$










La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un planeta se obtiene aplicando la ley de gravitación universal a un cuerpo situado sobre ella:

$g=G\frac{M}{R^2}\Rightarrow R=\sqrt{\frac{G\,M}{g}}$

Con los datos de Urano:

$R_U=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot8{,}68\cdot10^{25}}{8{,}9}}$





$R_U=2{,}55\cdot10^{7}\ \text{m}=2{,}55\cdot10^{4}\ \text{km}$

El radio medio de Urano es de $2{,}55\cdot10^{7}\ \text{m}$, unas cuatro veces el de la Tierra.

$\textbf{b) El peso en Urano de un objeto cuyo peso en la superficie de la Tierra es 1 100 N. [0,75 puntos]}$

La masa del objeto es la misma en los dos planetas; lo que cambia es la intensidad del campo. Se calcula primero la gravedad terrestre:

$g_T=G\frac{M_T}{R_T^2}=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}{(6{,}37\cdot10^{6})^2}=9{,}83\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

y con ella la masa del objeto:

$m=\frac{P_T}{g_T}=\frac{1\,100}{9{,}83}=111{,}9\ \text{kg}$

Su peso en la superficie de Urano es:

$P_U=m\,g_U=111{,}9\cdot8{,}9$

$P_U=996\ \text{N}$

El objeto pesa $996\ \text{N}$ en Urano, prácticamente lo mismo que en la Tierra: aunque Urano tiene catorce veces más masa, su radio es cuatro veces mayor y los dos efectos casi se compensan.

$\textbf{c) La velocidad de escape de la superficie de Urano. [1 punto]}$

La velocidad de escape es la mínima que hay que comunicar a un cuerpo para que llegue al infinito con velocidad nula. Como el campo gravitatorio es conservativo, se conserva la energía mecánica:

$-G\frac{M_U\,m}{R_U}+\frac12\,m\,v_{\text{esc}}^2=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2\,G\,M_U}{R_U}}$

Como $G\,M_U=g_U\,R_U^2$, la expresión se simplifica:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{2\,g_U\,R_U}=\sqrt{2\cdot8{,}9\cdot2{,}55\cdot10^{7}}$

$v_{\text{esc}}=2{,}13\cdot10^{4}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}=21{,}3\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$

La velocidad de escape desde la superficie de Urano es de $21{,}3\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$, casi el doble de la terrestre.