Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Asturias · 2020

Un electrón posee una energía cinética de 25 eV. Calcule:

a) La longitud de onda asociada al electrón. [1 punto]

b) La longitud de onda de un fotón con la misma energía de 25 eV. [1 punto]

c) La longitud de onda de De Broglie asociada a una partícula de masa $m = 0{,}005\ \mu\text{g}$ con la misma velocidad que el electrón de los apartados anteriores. [0,5 puntos]

Datos: $m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$; $h = 6{,}626\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$; $|q_e| = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$; $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

$\textbf{a) La longitud de onda asociada al electrón. [1 punto]}$

La hipótesis de De Broglie asocia a toda partícula material una longitud de onda inversamente proporcional a su cantidad de movimiento:

$\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{m_e\,v}$

Hay que calcular antes la velocidad a partir de la energía cinética, que se expresa en unidades del Sistema Internacional:

$E_c=25\ \text{eV}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}=4\cdot10^{-18}\ \text{J}$

$E_c=\frac12\,m_e\,v^2\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2\,E_c}{m_e}}=\sqrt{\frac{2\cdot4\cdot10^{-18}}{9{,}1\cdot10^{-31}}}$

$v=2{,}97\cdot10^{6}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

Es un $1\,\%$ de la velocidad de la luz, así que el tratamiento no relativista está justificado. Sustituyendo:

$\lambda=\frac{6{,}626\cdot10^{-34}}{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot2{,}97\cdot10^{6}}$

$\lambda=2{,}46\cdot10^{-10}\ \text{m}$

La longitud de onda asociada al electrón es de $2{,}46\cdot10^{-10}\ \text{m}$, del orden del tamaño de un átomo.

$\textbf{b) La longitud de onda de un fotón con la misma energía de 25 eV. [1 punto]}$

El fotón no tiene masa en reposo y su energía se relaciona con la longitud de onda a través de la hipótesis de Planck:

$E=h\,f=h\frac{c}{\lambda}\Rightarrow \lambda=\frac{h\,c}{E}$

$\lambda=\frac{6{,}626\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{4\cdot10^{-18}}$

$\lambda=4{,}97\cdot10^{-8}\ \text{m}=49{,}7\ \text{nm}$

Con la misma energía, el fotón tiene una longitud de onda unas doscientas veces mayor que el electrón. La razón es que las dos expresiones son distintas: la del fotón va como $1/E$ y la del electrón como $1/\sqrt{E}$.

$\textbf{c) La longitud de onda de De Broglie asociada a una partícula de masa } \boldsymbol{m = 0{,}005\ \mu\text{g}}\textbf{ con la misma velocidad que el electrón de los apartados anteriores. [0,5 puntos]}$

Se pasa la masa a unidades del Sistema Internacional:

$m=0{,}005\ \mu\text{g}=5\cdot10^{-9}\ \text{g}=5\cdot10^{-12}\ \text{kg}$

$\lambda=\frac{h}{m\,v}=\frac{6{,}626\cdot10^{-34}}{5\cdot10^{-12}\cdot2{,}97\cdot10^{6}}$

$\lambda=4{,}47\cdot10^{-29}\ \text{m}$

Una longitud de onda de $4{,}47\cdot10^{-29}\ \text{m}$ es diecinueve órdenes de magnitud menor que el tamaño de un núcleo atómico: absolutamente inobservable. Es la razón por la que el comportamiento ondulatorio no se manifiesta en los objetos macroscópicos, aunque la hipótesis de De Broglie les sea igualmente aplicable.