Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Asturias · 2020

Dos cargas puntuales con cargas $q_1 = +10\ \mu\text{C}$ y $q_2 = -40\ \mu\text{C}$ se disponen en el vacío en posiciones fijas separadas 1 m una de otra. Determine:

a) Un punto $A$ donde se anule el campo eléctrico. [1 punto]

b) Un punto $B$ donde sea nulo el potencial eléctrico. [0,75 puntos]

c) El trabajo para trasladar un protón desde el punto $A$ al punto $B$. [0,75 puntos]

Datos: $K = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$; $|q_e| = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$; $m_p = 1{,}7\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Un punto } \boldsymbol{A}\textbf{ donde se anule el campo eléctrico. [1 punto]}$

El campo creado por una carga puntual es $\vec E=K\dfrac{q}{r^2}\,\vec u_r$: se aleja de la carga si es positiva y apunta hacia ella si es negativa.

Con dos cargas de signo contrario los dos campos llevan el mismo sentido en todos los puntos del segmento que las une, así que ahí no pueden cancelarse: el punto buscado está fuera. Y como los módulos son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia, tiene que estar más lejos de la carga mayor, es decir, del lado de $q_1$.



Llamando $x$ a la distancia desde $q_1$ hacia el exterior:

$K\frac{|q_1|}{x^2}=K\frac{|q_2|}{(x+1)^2}\Rightarrow \frac{10}{x^2}=\frac{40}{(x+1)^2}$

$(x+1)^2=4x^2\Rightarrow x+1=2x$

$x=1\ \text{m}$

El campo eléctrico se anula en el punto $A$, situado a $1\ \text{m}$ de $q_1$ por el lado opuesto a $q_2$, y por tanto a $2\ \text{m}$ de $q_2$.

$\textbf{b) Un punto } \boldsymbol{B}\textbf{ donde sea nulo el potencial eléctrico. [0,75 puntos]}$

El potencial es una magnitud escalar y las dos cargas contribuyen con signos contrarios, de modo que puede anularse:

$V=K\left(\frac{q_1}{r_1}+\frac{q_2}{r_2}\right)=0\Rightarrow \frac{10}{r_1}=\frac{40}{r_2}\Rightarrow r_2=4\,r_1$

Buscando ese punto entre las dos cargas, donde $r_1+r_2=1\ \text{m}$:

$r_1+4\,r_1=1\Rightarrow r_1=0{,}2\ \text{m}$

El punto $B$ está a $0{,}2\ \text{m}$ de $q_1$ y a $0{,}8\ \text{m}$ de $q_2$.

Hay además un segundo punto de potencial nulo, fuera del segmento y del lado de $q_1$, donde $r_2=r_1+1$:

$r_1+1=4\,r_1\Rightarrow r_1=\frac13=0{,}33\ \text{m}$

$\textbf{c) El trabajo para trasladar un protón desde el punto } \boldsymbol{A}\textbf{ al punto } \boldsymbol{B}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Se toma el punto $B$ situado entre las dos cargas. El campo eléctrico es conservativo, así que el trabajo de sus fuerzas solo depende de los potenciales de los dos puntos:

$W_{A\to B}=q\,(V_A-V_B)$

El potencial en $A$, que está a $1\ \text{m}$ de $q_1$ y a $2\ \text{m}$ de $q_2$:

$V_A=9\cdot10^{9}\left(\frac{10^{-5}}{1}-\frac{4\cdot10^{-5}}{2}\right)=9\cdot10^{9}\cdot(-10^{-5})$

$V_A=-9\cdot10^{4}\ \text{V}$

Y en $B$ el potencial es nulo por construcción. Con la carga del protón:

$W_{A\to B}=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot\left(-9\cdot10^{4}-0\right)$

$W_{A\to B}=-1{,}44\cdot10^{-14}\ \text{J}$

El trabajo de las fuerzas del campo es negativo, de modo que el traslado no es espontáneo: lo debe realizar un agente externo, aportando $1{,}44\cdot10^{-14}\ \text{J}$.