Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Dos esferas $A$ y $B$, con masas respectivas $m_A = 5\ \text{kg}$ y $m_B = 10\ \text{kg}$, se encuentran en reposo a una distancia entre sus centros de 1 m. Una pequeña bola, de masa $m = 100\ \text{g}$, se deja en reposo en un punto $Q$ del segmento que une $A$ con $B$ y a una distancia de 40 cm del centro de $A$. Asuma que las únicas fuerzas que actúan sobre la bola son las fuerzas gravitatorias debidas a las esferas $A$ y $B$. Calcule:

a) La intensidad de campo gravitatorio en el punto $Q$ en que se sitúa inicialmente la bola. [1 punto]

b) El trabajo realizado por el campo gravitatorio cuando la bola se haya desplazado hasta el punto $S$ del mismo segmento y que dista 80 cm del centro de la esfera $B$. Razone si este desplazamiento de la bola será espontáneo. [1 punto]

c) Busque el punto de equilibrio entre ambas esferas para la pequeña bola de masa $m$. [0,5 puntos]

Dato: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) La intensidad de campo gravitatorio en el punto } \boldsymbol{Q}\textbf{ en que se sitúa inicialmente la bola. [1 punto]}$

El campo gravitatorio creado por una masa puntual apunta siempre hacia ella:

$\vec g=-G\frac{M}{r^2}\,\vec u_r$

El punto $Q$ está a $0{,}40\ \text{m}$ del centro de $A$ y, por tanto, a $0{,}60\ \text{m}$ del de $B$. Los dos campos tienen la dirección del segmento que une las esferas, pero sentidos opuestos: uno apunta hacia $A$ y el otro hacia $B$.



$g_A=G\frac{m_A}{r_A^2}=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5}{0{,}40^2}=2{,}08\cdot10^{-9}\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$

$g_B=G\frac{m_B}{r_B^2}=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot10}{0{,}60^2}=1{,}85\cdot10^{-9}\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$

Restando, porque son opuestos:

$g_Q=g_A-g_B=2{,}08\cdot10^{-9}-1{,}85\cdot10^{-9}$

$g_Q=2{,}32\cdot10^{-10}\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$

El campo en $Q$ tiene módulo $2{,}32\cdot10^{-10}\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ y está dirigido hacia la esfera $A$: aunque $B$ tiene el doble de masa, $A$ está bastante más cerca y su campo gana.

$\textbf{b) El trabajo realizado por el campo gravitatorio cuando la bola se haya desplazado hasta el punto } \boldsymbol{S}\textbf{ del mismo segmento y que dista 80 cm del centro de la esfera } \boldsymbol{B}\textbf{. Razone si este desplazamiento de la bola será espontáneo. [1 punto]}$

El punto $S$ está a $0{,}80\ \text{m}$ de $B$ y, por tanto, a $0{,}20\ \text{m}$ de $A$. El campo gravitatorio es conservativo, así que el trabajo de sus fuerzas solo depende de los potenciales inicial y final:

$V=-G\frac{m_A}{r_A}-G\frac{m_B}{r_B}$

$V_Q=-6{,}67\cdot10^{-11}\left(\frac{5}{0{,}40}+\frac{10}{0{,}60}\right)=-1{,}95\cdot10^{-9}\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}$

$V_S=-6{,}67\cdot10^{-11}\left(\frac{5}{0{,}20}+\frac{10}{0{,}80}\right)=-2{,}50\cdot10^{-9}\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}$

$W_{Q\to S}=m\,(V_Q-V_S)=0{,}1\cdot\left(-1{,}95\cdot10^{-9}+2{,}50\cdot10^{-9}\right)$

$W_{Q\to S}=5{,}56\cdot10^{-11}\ \text{J}$

El trabajo es positivo, así que lo realiza el propio campo y el desplazamiento sí es espontáneo. Era previsible: en $Q$ la fuerza resultante apunta hacia $A$, que es justamente el sentido en el que se mueve la bola, y su energía potencial disminuye.

$\textbf{c) Busque el punto de equilibrio entre ambas esferas para la pequeña bola de masa } \boldsymbol{m}\textbf{. [0,5 puntos]}$

La bola está en equilibrio donde el campo total se anula, es decir, donde los dos campos tienen igual módulo. Llamando $x$ a la distancia desde $A$:

$G\frac{m_A}{x^2}=G\frac{m_B}{(1-x)^2}\Rightarrow \frac{5}{x^2}=\frac{10}{(1-x)^2}$

$(1-x)^2=2x^2\Rightarrow 1-x=\sqrt2\,x$

$x=\frac{1}{1+\sqrt2}=0{,}414\ \text{m}$

Se descarta la raíz negativa, que cae fuera del segmento. El punto de equilibrio está a $0{,}414\ \text{m}$ del centro de $A$ y a $0{,}586\ \text{m}$ del de $B$: más cerca de la esfera menos masiva, como cabía esperar. Obsérvese que queda entre $Q$ y $S$, lo que confirma que la bola se mueve hacia él.