Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Suponiendo que la masa de una persona es de 75 kg y que la distancia de la Tierra a la Luna es $D_{T\text{-}L} = 3{,}84\cdot 10^{5}\ \text{km}$, calcule:

a) La fuerza gravitatoria que ejerce la Luna sobre una persona situada sobre la superficie terrestre. [1 punto]

b) La relación entre dicha fuerza y la ejercida por la Tierra sobre la misma persona. [0,5 puntos]

c) Compare los valores de la velocidad de escape en las superficies de la Tierra y de la Luna. [1 punto]

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$; $M_L = 7{,}35\cdot 10^{22}\ \text{kg}$; $R_L = 1\,740\ \text{km}$; $R_T = 6\,370\ \text{km}$; $M_T = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) La fuerza gravitatoria que ejerce la Luna sobre una persona situada sobre la superficie terrestre. [1 punto]}$

La ley de gravitación universal de Newton da la fuerza con que se atraen dos masas puntuales separadas una distancia $r$:

$F=G\frac{M\,m}{r^2}$

Para la atracción que ejerce la Luna se toma como distancia la que separa los centros de la Tierra y de la Luna:

$F_L=G\frac{M_L\,m}{D_{T\text{-}L}^2}=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}35\cdot10^{22}\cdot75}{(3{,}84\cdot10^{8})^2}$

$F_L=2{,}49\cdot10^{-3}\ \text{N}$



La Luna atrae a la persona con una fuerza de apenas $2{,}49\ \text{mN}$, la que ejercería sobre ella un objeto de un cuarto de gramo apoyado en la mano.

$\textbf{b) La relación entre dicha fuerza y la ejercida por la Tierra sobre la misma persona. [0,5 puntos]}$

La Tierra atrae a la persona desde su centro, a una distancia igual al radio terrestre:

$F_T=G\frac{M_T\,m}{R_T^2}=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot75}{(6{,}37\cdot10^{6})^2}$

$F_T=737{,}2\ \text{N}$

que no es otra cosa que el peso de la persona. La relación entre las dos fuerzas es:

$\frac{F_L}{F_T}=\frac{2{,}49\cdot10^{-3}}{737{,}2}$

$\frac{F_L}{F_T}=3{,}38\cdot10^{-6}$

La atracción de la Luna es unas trescientas mil veces menor que la de la Tierra. Aun así no es despreciable a escala planetaria: es la responsable de las mareas.

$\textbf{c) Compare los valores de la velocidad de escape en las superficies de la Tierra y de la Luna. [1 punto]}$

La velocidad de escape es la mínima que hay que comunicar a un cuerpo para que llegue al infinito con velocidad nula. Como el campo gravitatorio es conservativo:

$-G\frac{M\,m}{R}+\frac12\,m\,v_{\text{esc}}^2=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}$

$v_T=\sqrt{\frac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}{6{,}37\cdot10^{6}}}=1{,}12\cdot10^{4}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

$v_L=\sqrt{\frac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}35\cdot10^{22}}{1{,}74\cdot10^{6}}}=2{,}37\cdot10^{3}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

$\frac{v_T}{v_L}=\frac{1{,}12\cdot10^{4}}{2{,}37\cdot10^{3}}=4{,}71$

Escapar de la Tierra exige $11{,}2\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$ y escapar de la Luna solo $2{,}37\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$, unas $4{,}7$ veces menos. De ahí que la Luna no haya podido retener atmósfera: las moléculas de gas alcanzan con facilidad esa velocidad.