Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2021

Supongamos que se desintegra completamente 1 kg de materia. Calcule:

a) La energía producida en el proceso de desintegración. [1 punto]

b) El momento lineal del cuerpo cuando se mueve a la mitad de la velocidad de la luz. [1 punto]

Dato: $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

$\textbf{a) La energía producida en el proceso de desintegración. [1 punto]}$

La equivalencia entre masa y energía establecida por Einstein en la teoría de la relatividad especial dice que a toda masa en reposo le corresponde una energía:

$E=m\,c^2$

Si la materia se desintegra por completo, toda esa masa se convierte en energía:

$E=1\cdot(3\cdot10^{8})^2$

$E=9\cdot10^{16}\ \text{J}$

Un solo kilogramo de materia produciría $9\cdot10^{16}\ \text{J}$, del orden del consumo eléctrico de España durante varios meses. Es la razón de que en las reacciones nucleares, donde solo una fracción pequeñísima de la masa se transforma, se liberen energías tan grandes comparadas con las de las reacciones químicas.

$\textbf{b) El momento lineal del cuerpo cuando se mueve a la mitad de la velocidad de la luz. [1 punto]}$

A velocidades comparables con la de la luz hay que usar la expresión relativista del momento lineal, que incluye el factor de Lorentz:

$p=\gamma\,m\,v\qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$

Con $v=c/2$:

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac12\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{3/4}}=1{,}155$

$p=1{,}155\cdot1\cdot\frac{3\cdot10^{8}}{2}$

$p=1{,}73\cdot10^{8}\ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

El momento lineal vale $1{,}73\cdot10^{8}\ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. Es un $15{,}5\,\%$ mayor que el que daría la expresión clásica $p=mv=1{,}5\cdot10^{8}\ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, y esa diferencia es precisamente el factor de Lorentz.