Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Asturias · 2021

El periodo de semidesintegración de un átomo de uranio es de 4 500 millones de años y el del isótopo ${}^{51}\text{Cr}$ de 27 días.

a) Determine la vida media de un átomo de uranio. [1 punto]

b) Si tenemos un mol de átomos de ${}^{51}\text{Cr}$, ¿cuántos átomos quedarán transcurridos 5 meses? [1 punto]

Dato: $N_A = 6{,}022\cdot 10^{23}\ \text{átomos}\cdot\text{mol}^{-1}$.

$\textbf{a) Determine la vida media de un átomo de uranio. [1 punto]}$










La ley de desintegración radiactiva establece que el número de núcleos sin desintegrar decrece exponencialmente:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}$

El período de semidesintegración es el tiempo que tarda la muestra en reducirse a la mitad:

$\frac{N_0}{2}=N_0\,e^{-\lambda T_{1/2}}\Rightarrow T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}$





Y la vida media es la inversa de la constante de desintegración, es decir, el período dividido entre $\ln 2$:

$\tau=\frac{1}{\lambda}=\frac{T_{1/2}}{\ln 2}=\frac{4\,500\cdot10^{6}}{0{,}693}$

$\tau=6{,}49\cdot10^{9}\ \text{años}$

La vida media del uranio es de $6{,}49\cdot10^{9}$ años, algo más que la edad del Sistema Solar.

$\textbf{b) Si tenemos un mol de átomos de } \boldsymbol{{}^{51}\text{Cr}}\textbf{, ¿cuántos átomos quedarán transcurridos 5 meses? [1 punto]}$

El número inicial de átomos es el número de Avogadro, porque se parte de un mol:

$N_0=6{,}022\cdot10^{23}\ \text{átomos}$

La constante de desintegración del ${}^{51}\text{Cr}$ se obtiene de su período de semidesintegración:

$\lambda=\frac{\ln 2}{27}=2{,}57\cdot10^{-2}\ \text{días}^{-1}$

Tomando los cinco meses como $150$ días, se aplica la ley de desintegración:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}=6{,}022\cdot10^{23}\cdot e^{-2{,}57\cdot10^{-2}\cdot150}$

$N=6{,}022\cdot10^{23}\cdot e^{-3{,}85}$

$N=1{,}28\cdot10^{22}\ \text{átomos}$

Al cabo de cinco meses quedan $1{,}28\cdot10^{22}$ átomos de ${}^{51}\text{Cr}$, algo más de un $2\,\%$ de los iniciales: en $150$ días caben unos cinco períodos y medio de semidesintegración.