Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2021

La ecuación de una onda transversal a lo largo de una cuerda horizontal muy larga es

$y(x,t) = (0{,}75\ \text{cm})\,\cos \pi\left[(0{,}4\ \text{cm}^{-1})x + (250\ \text{s}^{-1})t\right]$

a) Determine la amplitud, el periodo, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda transversal. [1,5 puntos]

b) Represente la elongación de los puntos de la cuerda para un tramo de cuerda de al menos una longitud de onda en los instantes $t = 0{,}5\ \text{ms}$ y $t = 1\ \text{ms}$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Determine la amplitud, el periodo, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda transversal. [1,5 puntos]}$

Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica:

$y(x,t)=A\cos(kx+\omega t+\varphi_0)$

$y(x,t)=0{,}75\cos\left[\pi\left(0{,}4\,x+250\,t\right)\right]$

Los dos términos de la fase llevan el mismo signo, de modo que la onda se propaga en el sentido negativo del eje $X$. Identificando términos y pasando a unidades del Sistema Internacional:

$A=0{,}75\ \text{cm}=7{,}5\cdot10^{-3}\ \text{m}$

$k=0{,}4\pi\ \text{cm}^{-1}=40\pi\ \text{rad}\cdot\text{m}^{-1}=125{,}66\ \text{rad}\cdot\text{m}^{-1}$

$\omega=250\pi\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}=785{,}4\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$

De ahí el resto de magnitudes:

$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{250\pi}=8\cdot10^{-3}\ \text{s}=8\ \text{ms}$

$f=\frac{1}{T}=125\ \text{Hz}$

$\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{40\pi}=0{,}05\ \text{m}=5\ \text{cm}$

$v=\frac{\omega}{k}=\frac{250\pi}{40\pi}=6{,}25\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

La onda tiene $7{,}5\ \text{mm}$ de amplitud, un período de $8\ \text{ms}$, una frecuencia de $125\ \text{Hz}$ y una longitud de onda de $5\ \text{cm}$, y avanza hacia la izquierda a $6{,}25\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

$\textbf{b) Represente la elongación de los puntos de la cuerda para un tramo de cuerda de al menos una longitud de onda en los instantes } \boldsymbol{t = 0{,}5\ \text{ms}}\textbf{ y } \boldsymbol{t = 1\ \text{ms}}\textbf{. [0,5 puntos]}$

En cada instante la elongación es una cosenoide en $x$ de amplitud $0{,}75\ \text{cm}$ y longitud de onda $5\ \text{cm}$, desfasada según el término temporal:

$y(x;\,0{,}5\ \text{ms})=0{,}75\cos\left(0{,}4\pi x+\frac{\pi}{8}\right)\ \text{cm}$

$y(x;\,1\ \text{ms})=0{,}75\cos\left(0{,}4\pi x+\frac{\pi}{4}\right)\ \text{cm}$

con $x$ en centímetros. La segunda curva es la primera desplazada hacia la izquierda, que es hacia donde avanza la onda, una distancia:

$\Delta x=v\,\Delta t=6{,}25\cdot0{,}5\cdot10^{-3}=3{,}125\cdot10^{-3}\ \text{m}=0{,}3125\ \text{cm}$

es decir, una dieciseisava parte de la longitud de onda.