Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Asturias · 2021

Disponemos de tres hilos conductores rectilíneos paralelos muy largos de longitud $L$ por los que circulan corrientes eléctricas de 10 A cada una. En los dos hilos de los extremos la corriente es en el mismo sentido y opuesta en el hilo del centro. La distancia entre hilos consecutivos es $d = 1\ \text{cm}$.

a) Calcule la magnitud y dirección de la fuerza por unidad de longitud en los hilos de los extremos. Haga un dibujo donde se representen los hilos y las fuerzas. [1,5 puntos]

b) Calcule la magnitud y dirección de la fuerza por unidad de longitud en el hilo central. [0,5 puntos]

Dato: $\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{N}\cdot\text{A}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule la magnitud y dirección de la fuerza por unidad de longitud en los hilos de los extremos. Haga un dibujo donde se representen los hilos y las fuerzas. [1,5 puntos]}$










Cada conductor está inmerso en el campo que crean los otros dos y sufre la fuerza magnética $\vec F=I\,\vec L\times\vec B$. Como el campo de un hilo es perpendicular al otro, el módulo de la fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos es:

$\frac{F}{L}=\frac{\mu_0\,I_1\,I_2}{2\pi\,d}$

Es atractiva si las corrientes son paralelas y repulsiva si son antiparalelas.





Se numeran los hilos $1$, $2$ y $3$ de izquierda a derecha; el central lleva la corriente en sentido opuesto a los otros dos.

Sobre el hilo $1$ actúan dos fuerzas. La del hilo central, a $d=1\ \text{cm}$, con corrientes antiparalelas, es repulsiva:

$\left(\frac{F}{L}\right)_{12}=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot10\cdot10}{2\pi\cdot10^{-2}}=2\cdot10^{-3}\ \text{N}\cdot\text{m}^{-1}$

Y la del hilo $3$, a $2d=2\ \text{cm}$, con corrientes paralelas, es atractiva:

$\left(\frac{F}{L}\right)_{13}=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot10\cdot10}{2\pi\cdot2\cdot10^{-2}}=1\cdot10^{-3}\ \text{N}\cdot\text{m}^{-1}$

Las dos tienen la misma dirección, perpendicular a los hilos y contenida en su plano, pero sentidos opuestos, así que se restan:

$\frac{F_1}{L}=2\cdot10^{-3}-1\cdot10^{-3}$

$\frac{F_1}{L}=1\cdot10^{-3}\ \text{N}\cdot\text{m}^{-1}$

y el resultado lleva el sentido de la mayor, la repulsión del hilo central: el hilo $1$ es empujado hacia fuera del conjunto. Por simetría, sobre el hilo $3$ actúa una fuerza del mismo módulo, $1\cdot10^{-3}\ \text{N}\cdot\text{m}^{-1}$, también dirigida hacia fuera.

$\textbf{b) Calcule la magnitud y dirección de la fuerza por unidad de longitud en el hilo central. [0,5 puntos]}$

El hilo central lleva la corriente en sentido opuesto a los dos de los extremos, de modo que los dos lo repelen. Además, los dos están a la misma distancia, $d=1\ \text{cm}$, y transportan la misma intensidad:

$\left(\frac{F}{L}\right)_{21}=\left(\frac{F}{L}\right)_{23}=2\cdot10^{-3}\ \text{N}\cdot\text{m}^{-1}$

Las dos repulsiones tienen igual módulo y sentidos opuestos, una hacia la derecha y otra hacia la izquierda, de modo que se cancelan:

$\frac{F_2}{L}=2\cdot10^{-3}-2\cdot10^{-3}=0\ \text{N}\cdot\text{m}^{-1}$

La fuerza sobre el hilo central es nula. Se trata, eso sí, de un equilibrio inestable: si el hilo se desplaza un poco hacia uno de los extremos, la repulsión de ese lado crece y la del otro disminuye, y la fuerza resultante lo aleja todavía más.