Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Se colocan en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado tres masas puntuales de 2, 4 y 2 kg, cuyas coordenadas son $(0,1)$; $(1,1)$ y $(1,0)$, respectivamente. Calcule:

a) La fuerza que ejercerán sobre una partícula de 1 g colocada en el cuarto vértice. [1 punto]

b) El trabajo realizado por el campo gravitatorio cuando la partícula se haya desplazado hasta el centro del cuadrado. Explique si este desplazamiento de la partícula es espontáneo o no. [1 punto]

Dato: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) La fuerza que ejercerán sobre una partícula de 1 g colocada en el cuarto vértice. [1 punto]}$










La ley de gravitación universal de Newton da la fuerza que ejerce cada masa sobre la partícula:

$\vec F=-G\frac{M\,m}{r^2}\,\vec u_r$

siempre atractiva, es decir, dirigida desde la partícula hacia cada masa. El cuarto vértice es el origen $(0,0)$ y la partícula tiene $m=10^{-3}\ \text{kg}$.





Las dos masas de $2\ \text{kg}$ están a $1\ \text{m}$, sobre los ejes:

$F_1=F_3=G\frac{2\,m}{1^2}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot2\cdot10^{-3}=1{,}334\cdot10^{-13}\ \text{N}$

$\vec F_1=(0,\,1{,}334\cdot10^{-13})\qquad \vec F_3=(1{,}334\cdot10^{-13},\,0)\ \text{N}$

La masa de $4\ \text{kg}$ está en el vértice opuesto, a la distancia de la diagonal, $\sqrt2\ \text{m}$:

$F_2=G\frac{4\,m}{(\sqrt2)^2}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{4\cdot10^{-3}}{2}=1{,}334\cdot10^{-13}\ \text{N}$

y está dirigida a lo largo de la diagonal, con componentes iguales:

$\vec F_2=1{,}334\cdot10^{-13}\cdot\frac{(1,1)}{\sqrt2}=(9{,}43\cdot10^{-14},\,9{,}43\cdot10^{-14})\ \text{N}$

Sumando las tres:

$\vec F=(2{,}28\cdot10^{-13},\;2{,}28\cdot10^{-13})\ \text{N}$

$|\vec F|=2{,}28\cdot10^{-13}\cdot\sqrt2=3{,}22\cdot10^{-13}\ \text{N}$

La fuerza total tiene módulo $3{,}22\cdot10^{-13}\ \text{N}$ y está dirigida a lo largo de la diagonal del cuadrado, hacia la masa de $4\ \text{kg}$, como exige la simetría del problema.

$\textbf{b) El trabajo realizado por el campo gravitatorio cuando la partícula se haya desplazado hasta el centro del cuadrado. Explique si este desplazamiento de la partícula es espontáneo o no. [1 punto]}$

El campo gravitatorio es conservativo, así que el trabajo de sus fuerzas solo depende de los potenciales inicial y final:

$W=m\,(V_{\text{inicial}}-V_{\text{final}})$

El potencial en el cuarto vértice, con las distancias del apartado anterior:

$V_{(0,0)}=-G\left(\frac{2}{1}+\frac{4}{\sqrt2}+\frac{2}{1}\right)=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6{,}83$

$V_{(0,0)}=-4{,}56\cdot10^{-10}\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}$

En el centro del cuadrado las tres masas están a la misma distancia, la mitad de la diagonal:

$r=\frac{\sqrt2}{2}=0{,}707\ \text{m}$

$V_{\text{centro}}=-G\,\frac{2+4+2}{0{,}707}=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot11{,}31$

$V_{\text{centro}}=-7{,}55\cdot10^{-10}\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}$

$W=10^{-3}\cdot\left(-4{,}56\cdot10^{-10}+7{,}55\cdot10^{-10}\right)$

$W=2{,}99\cdot10^{-13}\ \text{J}$

El trabajo del campo es positivo, así que el desplazamiento sí es espontáneo: la partícula se mueve hacia el centro, que es una región de menor potencial, y su energía potencial disminuye. Es coherente con el apartado anterior, donde la fuerza resultante apuntaba justamente en esa dirección.