Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

En el año 2053 una astronauta, cuya masa es $m = 60\ \text{kg}$, se encuentra explorando el planeta X-1 de masa 10 veces menor y radio 10 veces menor que la Tierra. Calcule:

a) ¿Cuál sería el peso de la astronauta en la superficie del planeta X-1? [1 punto]

b) Unos meses más tarde aterriza con su nave en el planeta Z-1, cuyo radio es también 10 veces menor que el de la Tierra, pero su masa es 100 mayor que la Tierra. Calcule el peso de la astronauta en Z-1. [1 punto]

$\textbf{a) ¿Cuál sería el peso de la astronauta en la superficie del planeta X-1? [1 punto]}$

La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un planeta depende de su masa y de su radio según:

$g=G\frac{M}{R^2}$

El enunciado da la masa y el radio de X-1 como fracción de los terrestres, así que conviene escribir el cociente entre las dos gravedades y dejar que $G$ se cancele:

$\frac{g_{X}}{g_T}=\frac{M_X}{M_T}\left(\frac{R_T}{R_X}\right)^2$

Con $M_X=M_T/10$ y $R_X=R_T/10$:

$\frac{g_{X}}{g_T}=\frac{1}{10}\cdot10^2=10$

$g_X=10\,g_T=10\cdot9{,}8=98\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

donde se ha tomado el valor habitual de la gravedad terrestre, $g_T=9{,}8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$, que el enunciado no proporciona. El peso de la astronauta es:

$P_X=m\,g_X=60\cdot98$

$P_X=5\,880\ \text{N}$

La astronauta pesaría $5\,880\ \text{N}$ en X-1, diez veces lo que pesa en la Tierra: aunque el planeta tiene diez veces menos masa, su radio es diez veces menor y el radio pesa al cuadrado.

$\textbf{b) Unos meses más tarde aterriza con su nave en el planeta Z-1, cuyo radio es también 10 veces menor que el de la Tierra, pero su masa es 100 mayor que la Tierra. Calcule el peso de la astronauta en Z-1. [1 punto]}$

Se repite el razonamiento con los datos de Z-1, $M_Z=100\,M_T$ y $R_Z=R_T/10$:

$\frac{g_{Z}}{g_T}=\frac{M_Z}{M_T}\left(\frac{R_T}{R_Z}\right)^2=100\cdot10^2=10^4$

$g_Z=10^4\,g_T=9{,}8\cdot10^{4}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

$P_Z=m\,g_Z=60\cdot9{,}8\cdot10^{4}$

$P_Z=5{,}88\cdot10^{6}\ \text{N}$

En Z-1 la astronauta pesaría $5{,}88\cdot10^{6}\ \text{N}$, diez mil veces su peso terrestre. En la práctica no podría siquiera mantenerse en pie: una aceleración de casi $10^4\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ equivale a unas diez mil veces la gravedad terrestre.