Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2021

Se denominan ultrasonidos a las frecuencias por encima del rango auditivo en los humanos (20 kHz). Ondas sonoras por encima de esa frecuencia se utilizan para penetrar el cuerpo humano y producir imágenes por reflexión en las diferentes superficies. En un barrido de ultrasonidos típico las ondas sonoras viajan a una velocidad de $1\,500\ \text{m}/\text{s}$ y para una imagen detallada la longitud de onda no debe ser superior a 1 mm.

a) ¿Qué frecuencia es necesaria? [1 punto]

Si el rango de frecuencias audibles es 20 Hz a 20 kHz:

b) ¿A qué rango de longitudes de onda corresponde en el aire en condiciones normales? [1 punto]

Dato: $v_{\text{aire}} = 340\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

$\textbf{a) ¿Qué frecuencia es necesaria? [1 punto]}$

Para cualquier onda armónica la velocidad de propagación, la longitud de onda y la frecuencia están relacionadas por:

$v=\lambda\,f\Rightarrow f=\frac{v}{\lambda}$

El enunciado exige que la longitud de onda no supere $1\ \text{mm}$, y como la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda, esa condición fija una frecuencia mínima:

$f\ge\frac{1\,500}{10^{-3}}$

$f\ge1{,}5\cdot10^{6}\ \text{Hz}=1{,}5\ \text{MHz}$

Hace falta una frecuencia de al menos $1{,}5\ \text{MHz}$, muy por encima del límite audible de $20\ \text{kHz}$: se trata, en efecto, de ultrasonidos.



$\textbf{b) ¿A qué rango de longitudes de onda corresponde en el aire en condiciones normales? [1 punto]}$

Se aplica la misma relación, ahora con la velocidad del sonido en el aire y despejando la longitud de onda:

$\lambda=\frac{v_{\text{aire}}}{f}$

A la frecuencia más baja del rango audible corresponde la longitud de onda más larga:

$\lambda_{\text{máx}}=\frac{340}{20}=17\ \text{m}$

Y a la más alta, la más corta:

$\lambda_{\text{mín}}=\frac{340}{20\,000}=1{,}7\cdot10^{-2}\ \text{m}=1{,}7\ \text{cm}$

El rango audible corresponde en el aire a longitudes de onda comprendidas entre $1{,}7\ \text{cm}$ y $17\ \text{m}$: tres órdenes de magnitud, la misma amplitud que la del rango de frecuencias.