Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Asturias · 2021

Un dipolo está formado por dos cargas puntuales, $q_1 = +3\ \text{nC}$ y $q_2 = -3\ \text{nC}$, situadas a una distancia mutua de 3 cm. Una partícula de polvo con masa $m = 5\cdot 10^{-9}\ \text{kg}$ y carga eléctrica $q_0 = +2\ \text{nC}$ se coloca en reposo en un punto $A$ localizado entre las dos cargas y a una distancia de 1 cm respecto de la carga positiva. Calcule:

a) El módulo, la dirección y el sentido de la fuerza externa ejercida sobre la partícula de polvo. [1 punto]

b) El trabajo para trasladar la partícula desde el punto $A$ a un punto $B$ que dista 1 cm de la partícula negativa. [1 punto]

Dato: $K = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) El módulo, la dirección y el sentido de la fuerza externa ejercida sobre la partícula de polvo. [1 punto]}$










La partícula de polvo se coloca en reposo, de modo que la fuerza externa debe equilibrar exactamente a la fuerza eléctrica que ejerce el dipolo sobre ella.

El punto $A$ está entre las dos cargas, a $1\ \text{cm}$ de la positiva y a $2\ \text{cm}$ de la negativa. El campo de la carga positiva se aleja de ella y el de la negativa apunta hacia ella, así que los dos llevan el mismo sentido y se suman.





$E_1=K\frac{q_1}{r_1^2}=9\cdot10^{9}\cdot\frac{3\cdot10^{-9}}{(10^{-2})^2}=2{,}7\cdot10^{5}\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

$E_2=K\frac{|q_2|}{r_2^2}=9\cdot10^{9}\cdot\frac{3\cdot10^{-9}}{(2\cdot10^{-2})^2}=6{,}75\cdot10^{4}\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

$E_A=E_1+E_2=3{,}375\cdot10^{5}\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

La fuerza eléctrica sobre la partícula, que tiene carga positiva, lleva el sentido del campo, es decir, apunta de la carga positiva hacia la negativa:

$F_e=q_0\,E_A=2\cdot10^{-9}\cdot3{,}375\cdot10^{5}=6{,}75\cdot10^{-4}\ \text{N}$

Para que la partícula permanezca en reposo, la fuerza externa debe ser igual y opuesta:

$F_{\text{ext}}=6{,}75\cdot10^{-4}\ \text{N}$

con la dirección de la recta que une las dos cargas y sentido de la negativa hacia la positiva. Obsérvese que el peso de la partícula, $mg=5\cdot10^{-9}\cdot9{,}8=4{,}9\cdot10^{-8}\ \text{N}$, es cuatro órdenes de magnitud menor que la fuerza eléctrica.

$\textbf{b) El trabajo para trasladar la partícula desde el punto } \boldsymbol{A}\textbf{ a un punto } \boldsymbol{B}\textbf{ que dista 1 cm de la partícula negativa. [1 punto]}$

El punto $B$ está a $1\ \text{cm}$ de la carga negativa y, por tanto, a $2\ \text{cm}$ de la positiva: es la situación simétrica de $A$.

El campo eléctrico es conservativo, así que el trabajo de sus fuerzas solo depende de los potenciales inicial y final:

$V_A=K\left(\frac{q_1}{r_1}+\frac{q_2}{r_2}\right)=9\cdot10^{9}\left(\frac{3\cdot10^{-9}}{10^{-2}}-\frac{3\cdot10^{-9}}{2\cdot10^{-2}}\right)$

$V_A=1\,350\ \text{V}$

$V_B=9\cdot10^{9}\left(\frac{3\cdot10^{-9}}{2\cdot10^{-2}}-\frac{3\cdot10^{-9}}{10^{-2}}\right)=-1\,350\ \text{V}$

$W_{A\to B}=q_0\,(V_A-V_B)=2\cdot10^{-9}\cdot\left(1\,350-(-1\,350)\right)$

$W_{A\to B}=5{,}4\cdot10^{-6}\ \text{J}$

El trabajo es positivo, así que lo realiza el propio campo eléctrico: la partícula, positiva, se desplaza espontáneamente hacia la carga negativa, que la atrae, alejándose de la positiva, que la repele.