Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Ío, una de las lunas de Júpiter, posee una intensa actividad volcánica y el material lanzado durante las erupciones puede alcanzar alturas de 500 km sobre la superficie. Calcule:

a) La velocidad inicial del material volcánico en la superficie de Ío. [1 punto]

b) La velocidad de escape en Ío. [1 punto]

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$; $R_{\text{Ío}} = 1\,815\ \text{km}$; $M_{\text{Ío}} = 8{,}94\cdot 10^{22}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) La velocidad inicial del material volcánico en la superficie de Ío. [1 punto]}$










El material sale de la superficie y llega a la altura máxima con velocidad nula. Como la fuerza gravitatoria es conservativa y se desprecia cualquier rozamiento, se conserva la energía mecánica:

$-G\frac{M\,m}{R}+\frac12\,m\,v_0^2=-G\frac{M\,m}{r}+0$

con $r=R+h=1\,815\cdot10^{3}+500\cdot10^{3}=2{,}315\cdot10^{6}\ \text{m}$.





Simplificando la masa del material y despejando:

$v_0=\sqrt{2\,G\,M\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right)}$

$v_0=\sqrt{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot8{,}94\cdot10^{22}\left(\frac{1}{1{,}815\cdot10^{6}}-\frac{1}{2{,}315\cdot10^{6}}\right)}$

$v_0=1{,}19\cdot10^{3}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

El material sale de los volcanes de Ío a $1{,}19\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$.

$\textbf{b) La velocidad de escape en Ío. [1 punto]}$

La velocidad de escape es la mínima que hay que comunicar a un cuerpo en la superficie para que llegue al infinito con velocidad nula, es decir, con energía mecánica cero:

$-G\frac{M\,m}{R}+\frac12\,m\,v_{\text{esc}}^2=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot8{,}94\cdot10^{22}}{1{,}815\cdot10^{6}}}$

$v_{\text{esc}}=2{,}56\cdot10^{3}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

La velocidad de escape en Ío es de $2{,}56\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$, algo más del doble de la del material volcánico: por eso el material vuelve a caer sobre la superficie en lugar de perderse en el espacio.