Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Asturias · 2022

El ${}^{14}\text{C}$ es el isótopo radiactivo del carbono, comúnmente denominado carbono-14, muy empleado en métodos de datación absoluta de materia orgánica fósil y cuyo período de semidesintegración es de 5 760 años. Se dispone de una muestra de dicho isótopo con una masa inicial de 10 mg.

a) Calcule la vida media del isótopo ${}^{14}\text{C}$ y la masa que hay al cabo de 500 años. [1 punto]

b) ¿Cuánto se reduce la actividad de dicha muestra tras transcurrir un tiempo igual a $2/3$ de la vida media del isótopo? [1 punto]

Dato: $N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$.

$\textbf{a) Calcule la vida media del isótopo } \boldsymbol{{}^{14}\text{C}}\textbf{ y la masa que hay al cabo de 500 años. [1 punto]}$










La ley de desintegración radiactiva establece que el número de núcleos sin desintegrar decrece exponencialmente:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}$

y el período de semidesintegración se relaciona con la constante de desintegración según:

$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}\Rightarrow \lambda=\frac{\ln 2}{5\,760}=1{,}20\cdot10^{-4}\ \text{años}^{-1}$





La vida media es la inversa de la constante de desintegración:

$\tau=\frac{1}{\lambda}=\frac{5\,760}{\ln 2}$

$\tau=8\,310\ \text{años}$

La masa es proporcional al número de núcleos, así que decae con la misma ley:

$m=m_0\,e^{-\lambda t}=10\cdot e^{-1{,}20\cdot10^{-4}\cdot500}$

$m=10\cdot e^{-0{,}0602}=9{,}42\ \text{mg}$

La vida media del ${}^{14}\text{C}$ es de $8\,310$ años, y al cabo de $500$ años quedan $9{,}42\ \text{mg}$ de los $10\ \text{mg}$ iniciales: en un tiempo tan corto frente al período de semidesintegración apenas se desintegra un $6\,\%$ de la muestra.

$\textbf{b) ¿Cuánto se reduce la actividad de dicha muestra tras transcurrir un tiempo igual a } \boldsymbol{2/3}\textbf{ de la vida media del isótopo? [1 punto]}$

La actividad es proporcional al número de núcleos presentes, $A=\lambda N$, de modo que decae con la misma exponencial:

$\frac{A}{A_0}=e^{-\lambda t}$

El tiempo transcurrido es $t=\dfrac23\,\tau=\dfrac{2}{3\lambda}$, y al sustituirlo el producto $\lambda t$ queda adimensional y sin depender del isótopo:

$\lambda t=\lambda\cdot\frac{2}{3\lambda}=\frac23$

$\frac{A}{A_0}=e^{-2/3}=0{,}513$

La actividad se reduce al $51{,}3\,\%$ de su valor inicial, es decir, disminuye un $48{,}7\,\%$. El resultado no depende de cuál sea el isótopo: transcurridos dos tercios de la vida media, cualquier muestra radiactiva conserva siempre la misma fracción de su actividad.