Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2022

Una onda transversal se propaga de derecha a izquierda por una cuerda muy larga con una velocidad de propagación de $30\ \text{m}/\text{s}$, siendo su longitud de onda $\lambda = 1{,}5\ \text{m}$ y la amplitud de vibración de $0{,}2\ \text{m}$. Tomando el origen de coordenadas en el extremo de la derecha y en el instante $t = 0$, el extremo derecho de la cuerda se encuentra en la posición de desplazamiento nulo y sentido positivo de velocidad de oscilación. Determine:

a) El número de ondas y la frecuencia angular. [0,5 puntos]

b) La ecuación que describe el movimiento ondulatorio de la cuerda. [0,5 puntos]

c) La velocidad y aceleración máximas de vibración alcanzadas por un punto de la onda. [1 punto]

$\textbf{a) El número de ondas y la frecuencia angular. [0,5 puntos]}$

El número de onda se obtiene directamente de la longitud de onda:

$k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{1{,}5}$

$k=4{,}19\ \text{rad}\cdot\text{m}^{-1}$

Y la frecuencia angular, a partir de la frecuencia, que sale de la relación entre velocidad y longitud de onda:

$f=\frac{v}{\lambda}=\frac{30}{1{,}5}=20\ \text{Hz}$

$\omega=2\pi f=2\pi\cdot20$

$\omega=125{,}66\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$

$\textbf{b) La ecuación que describe el movimiento ondulatorio de la cuerda. [0,5 puntos]}$



La onda se propaga de derecha a izquierda, es decir, en el sentido negativo del eje $X$, de modo que la fase lleva los dos términos con el mismo signo:

$y(x,t)=A\,\text{sen}\,(\omega t+kx+\varphi_0)$

En el instante inicial el extremo derecho, que es el origen de coordenadas, tiene desplazamiento nulo y se mueve con velocidad positiva:

$y(0,0)=A\,\text{sen}\,\varphi_0=0\ \text{y}\ v_y(0,0)=A\,\omega\cos\varphi_0>0\Rightarrow \varphi_0=0$

$y(x,t)=0{,}2\,\text{sen}\,(125{,}66\,t+4{,}19\,x)\ \text{m}$

o, en forma exacta, $y(x,t)=0{,}2\,\text{sen}\left(40\pi t+\dfrac{4\pi}{3}x\right)\ \text{m}$, con $x$ e $y$ en metros y $t$ en segundos.

$\textbf{c) La velocidad y aceleración máximas de vibración alcanzadas por un punto de la onda. [1 punto]}$

Cada punto de la cuerda describe un movimiento armónico simple de amplitud $A$ y frecuencia angular $\omega$. Derivando la elongación respecto del tiempo:

$v_y=\frac{\partial y}{\partial t}=A\,\omega\cos(\omega t+kx)$

$a_y=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-A\,\omega^2\,\text{sen}\,(\omega t+kx)$

Los valores máximos se alcanzan cuando el coseno y el seno valen la unidad:

$v_{y,\text{máx}}=A\,\omega=0{,}2\cdot125{,}66$

$v_{y,\text{máx}}=25{,}13\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

$a_{y,\text{máx}}=A\,\omega^2=0{,}2\cdot(125{,}66)^2$

$a_{y,\text{máx}}=3{,}16\cdot10^{3}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

La velocidad máxima se alcanza al pasar el punto por la posición de equilibrio y la aceleración máxima en los extremos de la oscilación, donde la velocidad es nula.