Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2022

Una partícula alfa $(\alpha = {}^{4}\text{He}^{2+})$ en estado de reposo inicial, se acelera horizontalmente de izquierda a derecha en el sentido del eje $X$ positivo, mediante una diferencia de potencial $\Delta V = 100\ \text{V}$ aplicada entre dos placas conductoras planoparalelas. Seguidamente, la partícula alfa penetra en una región donde hay un campo magnético de intensidad $B = 100\ \text{mT}$ perpendicular a la velocidad de la partícula y dirigido según el eje $Z$ negativo, con sentido entrante hacia dentro del plano $XY$.

a) Calcule la velocidad que lleva la partícula alfa al pasar por la segunda placa, y la máxima altura vertical que alcanzará según el eje $Y$, tras recorrer una trayectoria semicircular bajo la acción del campo magnético. [1 punto]

b) ¿Qué radio de curvatura tendría la trayectoria que describiría un electrón en las mismas condiciones del experimento, tras cambiar la polaridad de las placas planoparalelas? [1 punto]

Datos: $m_{p^+} = m_n = 1{,}67\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$; $m_{e^-} = 9{,}11\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$; $|q_{e^-}| = |q_{p^+}| = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) Calcule la velocidad que lleva la partícula alfa al pasar por la segunda placa, y la máxima altura vertical que alcanzará según el eje } \boldsymbol{Y}\textbf{, tras recorrer una trayectoria semicircular bajo la acción del campo magnético. [1 punto]}$










La partícula alfa es un núcleo de helio: dos protones y dos neutrones, sin electrones.

$m_\alpha=2\,m_{p^+}+2\,m_n=4\cdot1{,}67\cdot10^{-27}=6{,}68\cdot10^{-27}\ \text{kg}$

$q_\alpha=2\,|q_{p^+}|=3{,}2\cdot10^{-19}\ \text{C}$

Entre las placas el trabajo del campo eléctrico se invierte íntegramente en energía cinética, porque parte del reposo.





$q_\alpha\,\Delta V=\frac12\,m_\alpha\,v^2\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2\,q_\alpha\,\Delta V}{m_\alpha}}$

$v=\sqrt{\frac{2\cdot3{,}2\cdot10^{-19}\cdot100}{6{,}68\cdot10^{-27}}}$

$v=9{,}79\cdot10^{4}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

Ya dentro del campo magnético, la fuerza de Lorentz es perpendicular a la velocidad en todo momento, no realiza trabajo y hace de fuerza centrípeta: la trayectoria es una circunferencia. Aplicando la segunda ley de Newton:

$q_\alpha\,v\,B=\frac{m_\alpha\,v^2}{R}\Rightarrow R=\frac{m_\alpha\,v}{q_\alpha\,B}$

$R=\frac{6{,}68\cdot10^{-27}\cdot9{,}79\cdot10^{4}}{3{,}2\cdot10^{-19}\cdot0{,}1}=2{,}04\cdot10^{-2}\ \text{m}$

Tras media circunferencia la partícula se ha desplazado perpendicularmente a su velocidad inicial una distancia igual al diámetro:

$h=2R=2\cdot2{,}04\cdot10^{-2}$

$h=4{,}09\cdot10^{-2}\ \text{m}=4{,}09\ \text{cm}$

La partícula alfa entra en el campo con $9{,}79\cdot10^{4}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ y alcanza una altura máxima de $4{,}09\ \text{cm}$.

$\textbf{b) ¿Qué radio de curvatura tendría la trayectoria que describiría un electrón en las mismas condiciones del experimento, tras cambiar la polaridad de las placas planoparalelas? [1 punto]}$

Al invertir la polaridad, el electrón, que tiene carga negativa, es acelerado en el mismo sentido que lo era la partícula alfa. Su velocidad a la salida de las placas es:

$v_e=\sqrt{\frac{2\,|q_{e^-}|\,\Delta V}{m_{e^-}}}=\sqrt{\frac{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot100}{9{,}11\cdot10^{-31}}}$

$v_e=5{,}93\cdot10^{6}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

Y el radio de su trayectoria en el mismo campo magnético:

$R_e=\frac{m_{e^-}\,v_e}{|q_{e^-}|\,B}=\frac{9{,}11\cdot10^{-31}\cdot5{,}93\cdot10^{6}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}1}$

$R_e=3{,}37\cdot10^{-4}\ \text{m}=0{,}337\ \text{mm}$

El radio del electrón es unas sesenta veces menor que el de la partícula alfa. Se ve directamente combinando las dos expresiones:

$R=\frac{m\,v}{q\,B}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2\,m\,\Delta V}{q}}$

de modo que el radio crece con la raíz del cociente masa-carga, y el de la partícula alfa es mucho mayor que el del electrón. Además, al ser de signo contrario, el electrón gira en sentido opuesto.