Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Asturias · 2022

Tres cargas eléctricas puntuales se encuentran situadas en los vértices de un cuadrado de lado $l = 2\ \text{m}$, 2 de ellas con carga positiva $q$ colocadas en los puntos $(2,0)$ y $(0,2)$, respectivamente, mientras que la tercera carga negativa tiene un valor $-2q$ y se encuentra situada en el origen $(0,0)$, siendo $q = 1\cdot 10^{-6}\ \text{C}$.

a) Determine el campo eléctrico resultante y el potencial eléctrico en el vértice opuesto al de la carga negativa, situado en el punto $(2,2)$. [1,5 puntos]

b) Calcule el trabajo que debe realizarse para trasladar una carga negativa $-q$ desde el vértice del cuadrado en el punto $(2,2)$, hasta el centro, en el punto de coordenadas $(1,1)$. [0,5 puntos]

Dato: $k = 9{,}0\cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) Determine el campo eléctrico resultante y el potencial eléctrico en el vértice opuesto al de la carga negativa, situado en el punto } \boldsymbol{(2,2)}\textbf{. [1,5 puntos]}$










El campo creado por una carga puntual es $\vec E=K\dfrac{q}{r^2}\,\vec u_r$, y por el principio de superposición el campo total es la suma vectorial de los tres.

Las distancias desde el vértice $D\,(2,2)$ son:

$r_1=r_2=2\ \text{m}\qquad r_3=2\sqrt2\ \text{m}$

siendo $r_3$ la diagonal, la que va hasta la carga negativa del origen.





Campo de la carga $q$ situada en $(2,0)$, que se aleja de ella en la dirección del eje $Y$:

$E_1=K\frac{q}{r_1^2}=9{,}0\cdot10^{9}\cdot\frac{10^{-6}}{4}=2\,250\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}\Rightarrow \vec E_1=(0,\,2\,250)$

Campo de la carga $q$ situada en $(0,2)$, en la dirección del eje $X$:

$\vec E_2=(2\,250,\,0)\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

Campo de la carga $-2q$ del origen, que apunta hacia ella por ser negativa, a lo largo de la diagonal:

$E_3=K\frac{2q}{r_3^2}=9{,}0\cdot10^{9}\cdot\frac{2\cdot10^{-6}}{8}=2\,250\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

$\vec E_3=2\,250\cdot\frac{(-1,-1)}{\sqrt2}=(-1\,591,\,-1\,591)\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

Sumando las tres contribuciones:

$\vec E_D=(2\,250-1\,591,\;2\,250-1\,591)=(659,\,659)\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

$|\vec E_D|=659\sqrt2=932\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

El campo en $D$ tiene módulo $932\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$ y está dirigido a lo largo de la diagonal, alejándose del origen.

El potencial es escalar y se suman directamente los tres términos:

$V_D=K\left(\frac{q}{2}+\frac{q}{2}-\frac{2q}{2\sqrt2}\right)=9{,}0\cdot10^{9}\cdot\left(5\cdot10^{-7}+5\cdot10^{-7}-7{,}07\cdot10^{-7}\right)$

$V_D=2\,636\ \text{V}$

$\textbf{b) Calcule el trabajo que debe realizarse para trasladar una carga negativa } \boldsymbol{-q}\textbf{ desde el vértice del cuadrado en el punto } \boldsymbol{(2,2)}\textbf{, hasta el centro, en el punto de coordenadas } \boldsymbol{(1,1)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

En el centro del cuadrado las tres cargas están a la misma distancia, $\sqrt2\ \text{m}$, de modo que el potencial se anula:

$V_C=\frac{K}{\sqrt2}\left(q+q-2q\right)=0\ \text{V}$

El campo eléctrico es conservativo y el trabajo de sus fuerzas solo depende de los potenciales inicial y final:

$W_{D\to C}=q_0\,(V_D-V_C)=(-10^{-6})\cdot(2\,636-0)$

$W_{D\to C}=-2{,}64\cdot10^{-3}\ \text{J}$

El trabajo de las fuerzas del campo es negativo, así que el traslado no es espontáneo: lo debe realizar un agente externo aportando $2{,}64\cdot10^{-3}\ \text{J}$. Se entiende bien mirando la energía potencial de la carga: al ser negativa, en $D$ vale $E_p=q_0V_D=-2{,}64\cdot10^{-3}\ \text{J}$ y en el centro es nula, luego aumenta.