Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Dos objetos tienen masas respectivas $m_1 = 0{,}5\ \text{kg}$ y $m_2 = 9\,m_1$. El primer objeto se sitúa en el origen de coordenadas, mientras que el segundo se sitúa a una distancia de 2 metros según el eje $X$ positivo.

a) Determine el punto sobre el eje $X$ en el que se anula el campo de atracción gravitatoria entre ambos objetos. [1 punto]

b) Calcule el valor del potencial gravitatorio debido a ambos objetos en dicho punto. [1 punto]

Dato: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Determine el punto sobre el eje } \boldsymbol{X}\textbf{ en el que se anula el campo de atracción gravitatoria entre ambos objetos. [1 punto]}$










El campo gravitatorio creado por una masa puntual apunta siempre hacia ella. Para que los dos se anulen tienen que ser opuestos, y eso solo ocurre en el segmento que une los dos objetos: fuera de él los dos campos llevan el mismo sentido.

Llamando $x$ a la distancia desde el primer objeto:

$G\frac{m_1}{x^2}=G\frac{m_2}{(2-x)^2}$





Con $m_2=9\,m_1$ la masa se simplifica:

$\frac{1}{x^2}=\frac{9}{(2-x)^2}\Rightarrow (2-x)^2=9x^2$

$2-x=3x\Rightarrow x=0{,}5\ \text{m}$

Se descarta la raíz $2-x=-3x$, que da $x=-1\ \text{m}$, por caer fuera del segmento.

El campo gravitatorio se anula en el punto $(0{,}5,\,0)\ \text{m}$, a $0{,}5\ \text{m}$ del objeto pequeño y a $1{,}5\ \text{m}$ del grande: la relación de distancias es $1:3$, la raíz cuadrada de la relación de masas.

$\textbf{b) Calcule el valor del potencial gravitatorio debido a ambos objetos en dicho punto. [1 punto]}$

El potencial gravitatorio es una magnitud escalar y las dos masas contribuyen con el mismo signo, así que no se anula donde se anula el campo:

$V=-G\frac{m_1}{r_1}-G\frac{m_2}{r_2}$

$V=-6{,}67\cdot10^{-11}\left(\frac{0{,}5}{0{,}5}+\frac{4{,}5}{1{,}5}\right)=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot(1+3)$

$V=-2{,}67\cdot10^{-10}\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}$

El potencial gravitatorio en ese punto vale $-2{,}67\cdot10^{-10}\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}$. Conviene subrayar el contraste con el apartado anterior: el campo, que es vectorial, se anula ahí, mientras que el potencial, escalar y siempre negativo, no puede anularse en ningún punto a distancia finita.