Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

El satélite más cercano a Júpiter, Ío, tiene un radio $R_{\text{Ío}} = 1{,}82\cdot 10^{6}\ \text{m}$ y su masa es $M_{\text{Ío}} = 8{,}94\cdot 10^{22}\ \text{kg}$. Si se lanza desde su superficie un cohete que alcanza una altura máxima $h = \dfrac{9}{7}R_{\text{Ío}}$, determine:

a) La velocidad inicial con la que se ha lanzado el cohete para alcanzar dicha altura. [1 punto]

b) El valor de la aceleración de la gravedad sobre la superficie de Ío y en el punto más alto que alcanza el cohete. [0,5 puntos]

c) ¿Cuál sería el periodo de rotación orbital del cohete a dicha altura, si permaneciese en el punto más alto describiendo una trayectoria circular? [0,5 puntos]

Dato: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) La velocidad inicial con la que se ha lanzado el cohete para alcanzar dicha altura. [1 punto]}$










La distancia al centro de Ío en el punto más alto es:

$r=R_{\text{Ío}}+h=R_{\text{Ío}}+\frac97 R_{\text{Ío}}=\frac{16}{7}R_{\text{Ío}}$

$r=\frac{16}{7}\cdot1{,}82\cdot10^{6}=4{,}16\cdot10^{6}\ \text{m}$

El cohete llega allí con velocidad nula, y como el campo gravitatorio es conservativo se conserva la energía mecánica.





$-G\frac{M\,m}{R_{\text{Ío}}}+\frac12\,m\,v_0^2=-G\frac{M\,m}{r}+0$

$v_0=\sqrt{2\,G\,M\left(\frac{1}{R_{\text{Ío}}}-\frac{1}{r}\right)}$

$v_0=\sqrt{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot8{,}94\cdot10^{22}\left(\frac{1}{1{,}82\cdot10^{6}}-\frac{1}{4{,}16\cdot10^{6}}\right)}$

$v_0=1{,}92\cdot10^{3}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

El cohete se ha lanzado con una velocidad inicial de $1{,}92\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$.

$\textbf{b) El valor de la aceleración de la gravedad sobre la superficie de Ío y en el punto más alto que alcanza el cohete. [0,5 puntos]}$

La intensidad del campo gravitatorio a una distancia $r$ del centro es $g=G\,M/r^2$. En la superficie:

$g_0=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot8{,}94\cdot10^{22}}{(1{,}82\cdot10^{6})^2}$

$g_0=1{,}80\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

Y en el punto más alto, a $r=16R/7$:

$g=g_0\left(\frac{R_{\text{Ío}}}{r}\right)^2=1{,}80\cdot\left(\frac{7}{16}\right)^2$

$g=0{,}345\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

La gravedad de Ío es de $1{,}80\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ en su superficie y baja a $0{,}345\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ en el punto más alto de la trayectoria, poco más de la quinta parte.

$\textbf{c) ¿Cuál sería el periodo de rotación orbital del cohete a dicha altura, si permaneciese en el punto más alto describiendo una trayectoria circular? [0,5 puntos]}$

En una órbita circular la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta. Escribiendo la aceleración centrípeta en función del período:

$G\frac{M\,m}{r^2}=m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r\Rightarrow T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\,M}}$

que es la tercera ley de Kepler. Sustituyendo:

$T=2\pi\sqrt{\frac{(4{,}16\cdot10^{6})^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot8{,}94\cdot10^{22}}}$

$T=2{,}18\cdot10^{4}\ \text{s}=6{,}06\ \text{h}$

El cohete tardaría $6{,}06$ horas en dar una vuelta completa a Ío a esa altura.