Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Asturias · 2022

Un bañista situado al borde de un trampolín descubre un objeto en el fondo de la piscina, que tiene una profundidad de 2 m. Para observarlo ha necesitado mirar con un ángulo de $60^\circ$ respecto a la normal a la superficie del agua, estando su ojo situado a 3 m de altura sobre el agua. Dado que el valor del índice de refracción del agua es $n_{\text{agua}} = 1{,}33$, calcule:

a) La distancia horizontal a la que se encuentra el objeto respecto a la vertical desde el borde del trampolín. [1 punto]

b) El ángulo límite entre ambos medios, realizando un esquema que indique la marcha del rayo. [1 punto]

Dato: $n_{\text{aire}} = 1$.

$\textbf{a) La distancia horizontal a la que se encuentra el objeto respecto a la vertical desde el borde del trampolín. [1 punto]}$










El rayo que va del objeto al ojo se quiebra al salir del agua, así que el recorrido horizontal es la suma de dos tramos: el que hace en el aire y el que hace en el agua.

En el aire el rayo forma $60^\circ$ con la normal a la superficie, que es vertical, y el ojo está $3\ \text{m}$ por encima del agua:

$d_1=3\cdot\tan60^\circ=3\cdot1{,}732=5{,}196\ \text{m}$





Al pasar al agua se aplica la ley de Snell:

$n_{\text{aire}}\,\text{sen}\,60^\circ=n_{\text{agua}}\,\text{sen}\,\hat r$

$\text{sen}\,\hat r=\frac{1\cdot0{,}866}{1{,}33}=0{,}651\Rightarrow \hat r=40{,}63^\circ$

El rayo se acerca a la normal, como corresponde al paso a un medio más refringente. En los $2\ \text{m}$ de profundidad avanza horizontalmente:

$d_2=2\cdot\tan40{,}63^\circ=2\cdot0{,}858=1{,}716\ \text{m}$

Sumando los dos tramos:

$d=d_1+d_2=5{,}196+1{,}716$

$d=6{,}91\ \text{m}$

El objeto se encuentra a $6{,}91\ \text{m}$ de la vertical trazada desde el borde del trampolín.

$\textbf{b) El ángulo límite entre ambos medios, realizando un esquema que indique la marcha del rayo. [1 punto]}$

El ángulo límite solo tiene sentido para la luz que va del medio más refringente al menos refringente, es decir, del agua al aire. Es el ángulo de incidencia al que corresponde un ángulo de refracción de $90^\circ$:

$n_{\text{agua}}\,\text{sen}\,\hat\lambda=n_{\text{aire}}\,\text{sen}\,90^\circ$

$\text{sen}\,\hat\lambda=\frac{n_{\text{aire}}}{n_{\text{agua}}}=\frac{1}{1{,}33}=0{,}752$

$\hat\lambda=48{,}75^\circ$

El ángulo límite entre el agua y el aire es de $48{,}75^\circ$. La marcha del rayo del apartado anterior, dibujada arriba, es coherente con este resultado: el rayo llega a la superficie desde el agua con $40{,}63^\circ$, menos que el ángulo límite, y por eso consigue salir al aire y llegar al ojo del bañista. Si el objeto estuviera más alejado, el rayo incidiría con más de $48{,}75^\circ$, se reflejaría totalmente y el bañista no podría verlo.