Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2022

Una onda transversal se propaga por una cuerda tensa en el sentido positivo del eje $X$, según la ecuación $y(x,t) = 0{,}75\,\text{sen}\,(5\pi x - 10\pi t + \pi/4)$, expresada en unidades del S.I. Determine:

a) La longitud de onda, frecuencia, amplitud y velocidad de propagación de la onda. [1 punto]

b) La velocidad de vibración y aceleración en el punto de la cuerda $x = 5\ \text{m}$, en el instante $t = 2\ \text{s}$. [1 punto]

$\textbf{a) La longitud de onda, frecuencia, amplitud y velocidad de propagación de la onda. [1 punto]}$

Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica que avanza en el sentido positivo del eje $X$:

$y(x,t)=A\,\text{sen}\,(kx-\omega t+\varphi_0)$

$y(x,t)=0{,}75\,\text{sen}\,(5\pi x-10\pi t+\pi/4)$

Identificando términos:

$A=0{,}75\ \text{m}\qquad k=5\pi\ \text{rad}\cdot\text{m}^{-1}\qquad \omega=10\pi\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$

De donde:

$\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{5\pi}=0{,}4\ \text{m}$

$f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{10\pi}{2\pi}=5\ \text{Hz}$

$v=\frac{\omega}{k}=\frac{10\pi}{5\pi}=2\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

La onda tiene una amplitud de $0{,}75\ \text{m}$, una longitud de onda de $0{,}4\ \text{m}$, una frecuencia de $5\ \text{Hz}$ y se propaga a $2\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. Se comprueba que $v=\lambda f=0{,}4\cdot5=2\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

$\textbf{b) La velocidad de vibración y aceleración en el punto de la cuerda } \boldsymbol{x = 5\ \text{m}}\textbf{, en el instante } \boldsymbol{t = 2\ \text{s}}\textbf{. [1 punto]}$

La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y=\frac{\partial y}{\partial t}=-0{,}75\cdot10\pi\cos(5\pi x-10\pi t+\pi/4)$

La fase en el punto y el instante pedidos vale:

$5\pi\cdot5-10\pi\cdot2+\frac{\pi}{4}=25\pi-20\pi+\frac{\pi}{4}=5\pi+\frac{\pi}{4}$

$\cos\left(5\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\cos\frac{\pi}{4}=-0{,}707$

$v_y=-7{,}5\pi\cdot(-0{,}707)=16{,}66\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

Para la aceleración se aprovecha que en un movimiento armónico simple es proporcional y opuesta a la elongación:

$a_y=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-\omega^2\,y$

La elongación en ese punto y ese instante es:

$y=0{,}75\,\text{sen}\left(5\pi+\frac{\pi}{4}\right)=0{,}75\cdot(-0{,}707)=-0{,}530\ \text{m}$

$a_y=-(10\pi)^2\cdot(-0{,}530)$

$a_y=523{,}4\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

El punto se mueve hacia arriba a $16{,}66\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ con una aceleración también positiva de $523{,}4\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$: está por debajo de la posición de equilibrio y volviendo hacia ella.