Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2022

Un sonómetro mide el nivel de intensidad sonora en el centro de una plaza circular en la que se celebra un concierto de música, y que por condiciones de pandemia, solo se permite al público ocupar una de las filas del aforo, de modo que todos los asistentes están sentados equidistantes al centro de la plaza. El cantante del grupo musical saluda al público gritando desde el escenario, que se encuentra a una distancia de 4 m del centro de la plaza, y el sonómetro marca un nivel de ruido de 75 dB. Una persona del público grita devolviendo el saludo y el instrumento mide una sonoridad de $51{,}16\ \text{dB}$. A continuación, grita todo el público al unísono registrándose un nivel de intensidad sonora de $78{,}08\ \text{dB}$. Asumiendo que todos los asistentes gritan con la misma potencia $P = 2{,}01\cdot 10^{-3}\ \text{W}$, calcule:

a) ¿Cuál es la potencia del grito emitido por el cantante? [1 punto]

b) La distancia a la que se encuentra el público del centro de la plaza. [0,5 puntos]

c) El número de personas que asisten al concierto. [0,5 puntos]

Dato: $I_0 = 10^{-12}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$.

$\textbf{a) ¿Cuál es la potencia del grito emitido por el cantante? [1 punto]}$










De la definición de nivel de intensidad sonora se despeja la intensidad que llega al sonómetro:

$\beta=10\log\frac{I}{I_0}\Rightarrow I=I_0\cdot10^{\beta/10}$

$I_{\text{cant}}=10^{-12}\cdot10^{7{,}5}=3{,}16\cdot10^{-5}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$





El cantante se comporta como un foco puntual y está a $4\ \text{m}$ del sonómetro:

$I=\frac{P}{4\pi r^2}\Rightarrow P=I\cdot4\pi r^2=3{,}16\cdot10^{-5}\cdot4\pi\cdot4^2$

$P_{\text{cant}}=6{,}36\cdot10^{-3}\ \text{W}$

El cantante grita con una potencia de $6{,}36\cdot10^{-3}\ \text{W}$.

$\textbf{b) La distancia a la que se encuentra el público del centro de la plaza. [0,5 puntos]}$

Con el nivel que produce una sola persona del público se obtiene la intensidad correspondiente:

$I_{\text{pers}}=10^{-12}\cdot10^{5{,}116}=1{,}31\cdot10^{-7}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$

Y como se conoce la potencia con la que grita cada asistente, se despeja la distancia:

$r=\sqrt{\frac{P}{4\pi I_{\text{pers}}}}=\sqrt{\frac{2{,}01\cdot10^{-3}}{4\pi\cdot1{,}31\cdot10^{-7}}}$

$r=35{,}0\ \text{m}$

El público está sentado a $35{,}0\ \text{m}$ del centro de la plaza.

$\textbf{c) El número de personas que asisten al concierto. [0,5 puntos]}$

Todos los asistentes están a la misma distancia del centro y gritan con la misma potencia, de modo que todos aportan la misma intensidad. Lo que se suma son las intensidades, no los niveles sonoros:

$I_{\text{total}}=N\,I_{\text{pers}}$

$I_{\text{total}}=10^{-12}\cdot10^{7{,}808}=6{,}43\cdot10^{-5}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$

$N=\frac{I_{\text{total}}}{I_{\text{pers}}}=\frac{6{,}43\cdot10^{-5}}{1{,}31\cdot10^{-7}}$

$N=492$

Asisten al concierto $492$ personas. El resultado ilustra bien la escala logarítmica: casi quinientas personas gritando a la vez solo suben el nivel sonoro de $51{,}16$ a $78{,}08\ \text{dB}$, unos $27\ \text{dB}$.